L=-A.=?=AI

50. Un rectangle matériel homogène de masse M et de côtés a et b est mobile autour de Vun de ses côtés é, lequel fait avec la verticale un angle ol ; ce rectangle, immobile sous l'action de la pesanteur, vient à être choqué par un point matériel de masse m qui le rencontre normalement ai^ec une vitesse donnée i', en un point situé à une distance l de l'axe de rotation, et se réunit à lui après l'avoir choqué» Déterminer : i" le mouvement initial du rectangle; 2° le mouvement ultérieur.

(Lille, novembre 1868.)

Le théorème des moments des quantités de mouvement et des impulsions des forces eiLtérieures appliqué à la période de choc donne, en appelant coq la vitesse angulaire du système à la (in de cette période,

u)o(m/'-4- ILmr^) — mvl = o^

mvl

m/*-H AMa*

Le mouvement ultérieur est celui d'un pendule simple de longueur

j^ ^— Il ■ •

(m/n-^ Ma) sina

Si. Étudier le mouvement d'un disque circulaire homogène pesant de masse M et de rayon a, situé dans un plan vertical et assujetti à glisser sans frottement sur une circonférence de cercle fixe de rayon R > 2a

ViLLiÉ. — CompotUiom. 18

374 DBCXifeat PAMTU. — CBAPITU T.

située dans ce plein. Calculer la pression normale du disque mobile sur la circonférence.

(Paris, juillet i883, i" question.)

Si Ton prend poar origine le centre de la circonférence et pour axe des^ la verticale descendante, que Ton désigne par N la réaction de la circonférence sur le disque, comptée dans le sens du rayon, et par r la quantité R dz a, suivant que le disque est extérieur ou intérieur à la circonférence, le mouvement du centre de gravité ou centre du disqne est donné par les équations

ce sont les équations du mouvement d^un pendule simple de longueur r.

La réaction est donnée par Féquation

la pression du disque mobile sur la circonférence est donc

Quant au mouvement du disque relativement à des axes en translation avec son centre de gravité, c^est celui d'un corps solide qui tourne autour d'un axe fixe et qui n'est soumis qu'à l'action de forces rencontrant cet axe ; il s'effectue donc avec une vitesse angulaire constante eu. On peut encore rechercher quelle est la vitesse de glissement du disque sur la circonférence ; elle est représentée par la vitesse absolue du point de contact qui est la résultante de sa vitesse d'entraînement ou vitesse v du centre du disque

HOUYEMEIfT B'uN CORPS SOLIDE. 375

et de sa vitesse relative d= ao) ; elle a donc pour expression, en la comptant dans le sens direct,

le signe du premier terme dépend du sens de Toscillation et celui du second de la position extérieure ou intérieure du disque mobile relativement au cercle fixe.

52. Déterminer le mouvement d^un corps solide pesantdont les molécules sont sollicitées vers un point fixe O par des forces proportionnelles à leurs masses et à la

distance au point fixe.

(Paris, novembre 1872.)

Je prends le point O pour origine et une verticale pour axe des z\ soient x^ y^ z les coordonnées du centre de gravité du solide, les attractions de O sur les divers points ont une résultante passant par le centre de gravité, puisque SCS composantes sont — jx^/wo:, — p-^/wj^, — [x^mz. On a pour le mouvement du centre de gravité

or, si Ton transporte Torigine au point z = -^y ces équations deviennent celles du mouvement d*un point attiré par Torigine proportionnellement à la distance. Le mouvement en projection sur chaque axe est un mouvement oscillatoire connu. La trajectoire est une ellipse ayant pour centre la nouvelle origine et dont le plan passe par la vitesse initiale du centre de gravité. Quant au solide, il tourne autour de son centre de gravité comme autour d'un point fixe et sans forces extérieures.

83. On considère deux points matériels non pesants, de masses m et m', assujettis à se mouvoir sans frotte^

ment dans deux plans différents, mais parallèles, et maintenus à une distance invariable l'un de Vautre par une tige dont on néglige la masse. Ces deux points sont soumis uniquement à l'action d'un centre fixe qui les attire proportionnellement à leur masse et à leur distance. On demande le mouvement du centre de gravité des deux points et le mouvement de ces points rapporté à leur centre de gravité. On indiquera pour quelles conditions initiales le mouvement des deux points sera le même que s'ils n'étaient pas reliés l'un à l'autre par la tige solide.

(École Normale, juillet 1878.)

On reconnaît immédiatement que le centre de gravité décrit une ellipse dont le centre est sur la normale aux plans fixes menée par le point attirant.

Le mouvement relatif du système des deux points est celui d'un solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe, normal aux plans donnés, et qui est soumis aux réactions des deux plans; ces deux forces étant parallèles à Taxe de rotation, le mouvement angulaire est uniforme. Soit <i> cette vitesse angulaire, les formules qui donnent le mouvement du centre de gravité et celui des deux points sont, en prenant l'axe des x parallèle à la projection de la position initiale de la tige sur les plans donnés,

X = acos\Lt -4-a'sin(if, Y = bcosiLt -h b' sin[Lt;

a» = X-f- rcoso)/, ^ = Y -h rsînw/, x'=X — r'coso)/, y=\ — r'sinwf;

dans lesquelles r et r' désignent les rayons des circonférences décrites par les points m et m' dans leurs mouvements relatifs. Pour que ces points se meuvent comme