HOUYBMBNT D*UN CORPS SOUDE

s^ils étaient indépendants, Il est nécessaire et suffisant que l'on ait (o = [X.

54. Une sphère homogène est posée sans vitesse sur un plan horizontal; trouver le mouvement de cette sphère, en supposant tous les éléments qui la composent attirés proportionnellement à la distance par un point fixe O du plan. U adhérence de la sphère au plan horizontal est supposée telle qu^elle ne puisse que rouler sans glisser.

Les données sont le rayon R de la sphère, la distance a du point de contact initial au point O et V attraction [x^ que ce dernier point exerce sur V unité de

masse à l'unité de distance,

(École Normale, juillet 1873.)

Le centre de la sphère décrit rhorizoatale qui passe par sa position initiale et coupe la verticale du point O, tandis que le mouvement relatif de la sphère est un mouvement de rotation autour d^une horizontale perpendiculaire à la première. Si F est la force de frottement, le mouvement du centre de gravité est donné par Téquation

or Taccélération angulaire de la rotation relative est donnée

par la formule

rf»e FR

dt^ '^ I '

I étant le moment d'inertie de la sphère autour d'un diamètre; d'où

F- 1 f^ - -L ^ - » — "" H £/f* "" H* dt^ "" * '^ dt^ '

et enfin

3/^ DBCXIÈXB PÀBTIE. — CHAPITBE f.

c*est Téqualion du mouvement recliligne d'un point attire par Torigine avec la force | [x* x, le mouvement est oscillatoire,

a? = acos4/-|i/,

et la durée d'une oscillation T = — 4 /? •

Reprenons la même question en supposant le centre de gravité animé d'une vitesse initiale. (De SAisT-GEftitiUf, Recueil d^ exercices sur la Mécanique rationnelle,)

Au point de contact de la sphère et du plan, la sphère éprouve une réaction dont les composantes sont X, Y, Z; on a, pour le mouvement du centre rapporté à des axes rectangulaires passant en O, Taxe Oz étant vertical,

m -7-r- = — mLi*a?-+-X,

l o = m fi' R -+- mg — Z.

Pour étudier le mouvement de la sphère autour de son centre C, nous mènerons par ce point des axes paraUèles aux axes fixes; soient />, q^ r les composantes de la rotation autour de ces axes : le théorème des moments des quantités de mouvement par rapport à ces axes, en remarquant qu'ils sont constamment axes principaux de la sphère et que les moments de la résultante des forces attractives et de celle des forces d'inertie d'entraînement sont nab, donne trois nouvelles équations

.,^ îmR«*=RY. îmR.g=-RX, J=o.

Il faut encore deux équations pour pouvoir déterminer nos inconnues x, y^ X, Y, Z, p^q^r; on les obtient ce écrivant que la vitesse du point de contact B est nulle; ses

HOUTBXENT D*UN CORPS 80UDB. ^79

projections sur Ox et O^ sont les sommes des projections de la vitesse d ^entraînement et de la vitesse relative

Ces équations permettent de remplacer les deu]i premières du système (2) par les suivantes :

éliminant X et Y entre ces équations et les deux premières du groupe (i), il vient

(5) 4-|jx«ar=o, ^4-î|i«7 = o.

Ce système connu montre que le point C décrit une ellipse dont le centre est sur Oz; comptons le temps à partir du passage à l'un des sommets, et supposons qu*alors ^ = o, X = Cj i' = A, les intégrales du mouvement seront

Les équations (3) donnent

quant à r, c^est une constante. Il résulte de ces formules que, si Ton mène par Torigine une droite qui, à chaque instant, représente en grandeur et en direction l'axe de la rotation instantanée, le lieu des extrémités de cette droite sera une ellipse horizontale.

Les équations (4) et(5) nous donnent les composantes horizontales de la réaction du plan

La résultante de ces deux forces est dirigée suivant OB

a82 DEUXlfcMB PART». — CHÀPITRB V. — MOOTEMENTy ETC.

substituant dans les valeurs de P| et P2, on arrive finale-

ment à

Pi = î M sin8(3^ cos6 — 2c),

Pi=: ^H-jMcosO(3^cos8 — ac),

DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. a83