CHAPITRE VI
S6. Un cylindre de rayon r et de moment d'inertie 1 par rapport à son axe, est mobile autour de cet axe supposé fixe et horizontal. Sur ce cylindre s'enroule un fil sans masse, supportant à ses deux bouts deux poids cylindriques de même diamètre, mais de masses inégales m et m'. Ces deux poids éprouvent de la part de l'air une même résistance aif^, proportionnelle au carré de leur vitesse commune v. Trouver le mouvement de ce système, en négligeant le frottement du cylindre contre l'air et contre ses appuis.
Examiner le cas particulier oà les masses m et m' seraient égales et oà le cylindre serait animé, à V origine du temps, d'une vitesse de rotation donnée (Oq.
(Paris, novembre 1869.)
Diverses méthodes peuvent être employées pour Fétude du mouvement d*un système à liaisons :
I® On applique les équations générales du mouvement à chacune des parties du système considéré, ce qui implique l'introduction des forces de liaison que Ton élimine ensuite ;
a® L'emploi des théorèmes généraux de la Dynamique qui n'introduisent pas les liaisons et sont applicables au
l84 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE TI.
système considéré, peut souvent fournir un nombre suffisant d'équations pour déterminer le mouvement de ce système.
3** La méthode de Lagrange a, sur les précédentes, les avantages suivants : elle n'introduit pas les liaisons comme la première méthode, et elle conduit toujours, par des moyens purement analytiques, au résultat que Ton cherche, mais elle donne des équations diOfcrentielles du second ordre; c'est pourquoi on lui préfère quelquefois la seconde méthode, qui fournit généralement les intégrales premières du mouvement.
4" Une autre méthode, dont celle de Lagrange n'est aa fond que la traduction analytique, est basée sur Tapplicalion simultanée du principe de d'Alembcrt et de celui des vitesses virtuelles. On écrit que, pour tout mouvement élémentaire compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à l'instant considéré, la somme des travaux virtuels des forces extérieures et intérieures (non compris les forces de liaison dont le travail dans ce déplacement est nul) et des forces d'inertie est nulle.
Nous emploierons toujours celle méthode pour les s\stèmes à liaisons complètes; elle revient alors à poser que, pour un déplacement élémentaire ou fini, mais réel du système, le demi-accroissement de force vive est égal à la somme des travaux des forces réellement agissantes, quand les liaisons sont indépendantes du temps; cette condition est indispensable pour que le théorème du travail ainsi conçu soit applicable à un système à liaisons; on sait, en effet, que le mouvement réel ne doit être considéré comme étant compatible avec les liaisons supposées immuables que quand le temps ne figure pas explicitement dans les équations de liaison.
Nous appliquerons cette dernière méthode au problème qui nous occupe. Soient m >> m', ^ et je/ les distances 0/»i,
DYNAMIQUE DBS STSTÈMBS. 285
O'm* {fig' 20) comptées dans le sens de la pesanteur; v^ la vitesse initiale de m que nous supposerons d'abord
Fiff. ao.
nu
aM'
positive ou nulle; le mouvement aura lieu dans le sens indiqué, le travail de la pesanteur appliquée à la pouHe seia nul y son centre de gravité étant sur Taxe de rotation, enfin celui de la force d'inertie de la poulie aura pour valeur absolue
d^où l'équation
f mg — iv^ — m -7-j- j ^T
/ r !• r d>X*\ ^ , \ dsf ^
Or de la relation on déduit
ox
tiX = — 6 T, l' = — P ;
a86 DBCXIÈIIB PABTIE. — CHAPITRE TI.
Téquation du travail virtuel devient donc
mg ^m ^ — aai'»— (m -h m -H -^1 ^ = <*•
Il est aisé de reconnaître que, si v^ <1 o, le mouvement aurait lieu d^abord en sens inverse et que pour cette période du mouvement il suffirait, dans l'équation qui précède, de chang^er le signe de a. Si l'on pose, pour simplifier,
Y^ (ni — ni*)g g __ (m—m')g
l'équation du mouvement prend la forme
suivant que i^o^o ; c'est l'équation du mouvement recliligne d'un point soumis à une force constante G, dans un milieu
dont la résistance par unité de masse est -^ • Soit d'abord (^o>o, on a
K» — pt ^K-hP K — vj
CT ÇT
GT GT
G si i>^=o, ^0=0, T=^,
Kl / 51 -5I\
C = -g-logl-+-a?o.
Dans le cas où la vitesse initiale est dirigée en sens con-
DYNAMIQUE DES STSTÈMBS. 287
traire de la pesanteur, si Ton compte les espaces parcourus dans le sens du mouvement, on a la formule
d'où l'on tîre
arc tang g — arc tang ^ = — — ,
t^o — K tang -|^ Pq cos -g K sin -^
^ ^ Gt , G^ . G^
K 4- i^o tang -=^ K cos -|T- 4- Po ««n -jr
j^j K cos -^ H- Po 8»n ^ ^= g'^^ K
Le mouvement change de sens quand v s'annule, alors
/i = ^ arc tang -^ et comme, en général,
^ = îg'^^kït7;î'
la hauteur correspondant à (^ = o est
Enfin, si m = m', la formule du mouvement est
dv aa . â •
-5? = ^-pP»=A.«,
^ — ~=A^, ar= jlogCi-hAPoO-^-^o- ST. t/he droite homogène AA' rfe niasse m' et de Ion-gueur 2a est assujettie à tourner autour d'un axe vertical auquel elle est perpendiculaire et qui passe par son milieu O. Un point mobile M de masse m, assujetti à rester sur cette droite, est attiré par le point O pro~
a88 DBCXIÈMI PARTIE. — CHAPITRE VI.
portionnellement à sa distance à ce point. On donne la vitesse angulaire initiale co^ de la droite, la position initiale du point M sur la droite et sa vitesse initiale relative. Trouver le mouvement du système.
On appliquera les formules au cas où le point M est placé d* abord à l'extrémité A de la droite sans vitesse
relative. On supposera, en outre, ni := — et le coefficient d'attraction / := 4<«>î-
(École Normale, juillet 1870.)
Nous mettrons le problème en équation en emplopni successivement les quatre méthodes précédemment indiquées :
i** Introduction des forces de liaison. — Soit N l'action de la tige sur le point M, comptée dans le sens de la rotation positive ; les équations du mouvement du point M sont
dt* '' r
d'où, en éliminant N,
rf/i -^ dt^ '
Or, de
X dx -\-y dy = r dr
on tire, par difTéren lia lion,
xd^x ->t-y d^y = dr^ -h rd^r — ds^ = rd*r ^ r^ éW,
ce qui donne Téquation différentielle de la trajectoire du point M
d^r cTO»
La tige est un corps solide tournant autour d*un axe fixe et
DTNAMIQUB DES SYSTÈMES. 389
soumis à la force — N : son mouvement angulaire est donc déterminé par Téquation
dt^
— Nr mf d^Y d^x\
le moment d^inertie I de la tige par rapport à Taxe de rotation est
Téquation du mouvement de la tige, intégrée une première ibis, donne
d^ 3 m x dy — v d-r . 3 m . ^0 .
dt m'a^ dt m'a* dt
OU
(2) ^(m'a»-+-3/nr*) = A:*=coo(3mrJ-h/n'a«),
équation d'un mouvement révolu tif dans lequel la vitesse angulaire décroit quand r croit. Quant au mouvement
relatif du point M sur la tige, il est déterminé par Téqua-
//ft tion que Ton obtient en éliminant -j- entre (i) et (2)
d^ r rk^
^^^ Iti " (/?i'aî-h 3mr«)» -^"/'' = °'
qui se ramène aisément au premier ordre
^^^ \Tt) "^ 3m(m'a«-f-3mr«) "+- A*= <^'-
2® Théorèmes généraux de la Dynamique. — Aucune force extérieure autre que la réaction de Taxe de rotation de la tige et celle du plan horizontal n'agissant sur le système considéré, le théorème des aires projetées sur le plan horizontal est applicable, puisque ces forces ont des
ViLLiÉ. — Compoitliom, ig
2^ DBDXiftXB PARTIB. — CHAPITRE VI.
moments nuls autour de Taxe de rotation ; il donne
mn -t: -t- I jT = const. :
ai at
c'est Téquation (a).
Le principe des forces vives fournil Féquation
/np*-h -j-j I = — a l/mr dr -h const. = — fmr^-^c'^my
qui conduit à Téquation (4)«
3** Equations de Lagrange. — Formons la demiforce vive T du svstème et le travail virtuel oU des forces tant extérieures qu'intérieures, non compris les liaisons, pour un déplacement compatible avec ces liaisons
$U = — fmr 8r = R ^r^
d'où
dT
dT A,/ , m'an
et enfin, en appliquant les formules de Lagrange, TtW d^ ^^' dtdr' d? ^^^
dl ''
qui ne sont autres que les équations (2) et (3).
4^ Le principe de d'Alembert, joint à celui des vitesses
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. agi
virtuelles, fournit Inéquation générale
dans laquelle X, Y, Z sont les composantes parallèles aux axes de la résultante des forces réellement agissantes (abstraction faite des forces produites par les liaisons) pour le point du système de masse m, et ùx, Zy^ ùz les composantes d*un déplacement virtuel de ce point, compatible avec les liaisons.
Si, dans le problème actuel, on désigne par a/ et^Mes coordonnées d'un point quelconque, de masse dm\ de la tige, l'équation précédente prend la forme
Or, en vertu des liaisons,
0J7 = 8(r cosO) = - or — y 86,
fy = o(rsinO) = î^ or-h roO, oj:' = -/80, 5/ = ^80;
d'où, en égalant séparément à zéro les coedficients des variations arbitraires or et SQ,
-' r \ dt^ r dt^ r I '
l d^r d^T\ ^ . ,/ ,rf*y ,d^T'\
le première nous a fourni Téquation (i), et la seconde, en rintégrant une fois, donne Téquation (a).
Revenons à Tétude du mouvement relatif du point M,
2g2 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
défini par Inéquation (4), qui conduit à une intégrale abélienne*, on doit toujours avoir
ou
9//11» r^ -4- 3 mr^(/m'a^— 3 me*) -h A*— 3 mm'a^c^ < o,
ce qui exige que les racines en r^ de ce trinôoie égalé à zéro ne soient ni imaginaires, ni toutes deux négatives : Tune d'elles au moins est donc positive; soient r, et r* ces racines et r^ > r^, on reconnaît aisément que le point m oscille entre r^ et Ti si /'j est réel, ou, s*il est imaginaire, entre ± /'i. Il est clair que si Ti >> a, le mobile s'arrêterait à rcxtn'milé de la tige dont le mouvement angulaire deviendrait uniforme à partir de cet instant. Enfin, quand r2 = o, r pourra croître jusqu^à Ti et diminuer ensuite jusqu'à zéro; mais il n'y arrivera qu'après un temps infini,
parce que dt contient - en facteur, ce qui rend infinie l'intégrale qui a zéro pour limite; la courbe décrite est alors une spirale asymptote au pôle.
Appliquant les formules au cas particulier de Ténoncé,
on trouve
A« = l maScoo, c« = \- a'wj
et, pour Téquation qui détermine r^ et Tj,
Tune des racines r, = a, ainsi qu'on pouvait le prévoir, et
l'autre r2 ^ — rr«
58. Un prisme de masse donnée M repose^ par une furjace plane, sur un plan horizontal, sur lequel il peut glisser sans frottement; dans ce prisme, on a creusé
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. 2g3
un cylindre ayant ses génératrices horizontales; un point matériel pesant de masse donnée m glisse sans frottement sur la section médiane de ce cylindre. On suppose que les vitesses initiales du prisme et du point matériel sont nulles. Trouver le mouvement de ce système.
On appliquera les formules au cas où la section droite du prisme est une cycloïde à base horizontale y convexe vers le bas, et Von supposera que le point m a été placé au commencement, au point le plus élevé de la cycloïde. On effectuera le calcul en supposant que la masse m est très petite par rapport à M e/ négligeant
les puissances du rapport rr supérieures à la première.
(Paris, novembre 1871.)
Nous rapporterons la position relative du point m à un système d^axes, l'un Ox horizontal, l'autre Oy dans le sens de la verticale, Torigine O étant le point de départ; les coordonnées relatives de ce point sont liées par l'équalîon du canal f(x^ y) =0. Soit d'ailleurs Xi le déplacement du point O du prisme au bout du temps tj les coordonnées absolues de m sont x -{- Xi et^,et celles du centre de gravité du prisme ari -i- X© et Y©.
Cela posé, le système du prisme et du point m n'est soumis qu'à des forces verticales et, comme les vitesses initiales sont nulles, le centre de gravité doit rester sur une verticale, ce qui donne
m(ar-+-3?,)-+-M(Xo-HTi) MXo
Î3 = COnSt. = rr
ou
(i) Mj-i-I- ;?i(x-4-Ti) = 0.
Le théorème des forces vives fournira la seconde équation nécessaire pour la détermination des deux seules in-
194 DEUXlfeHB PARTIE. — CHAPITBB VI.
connues x et X\ du problème
dT\ r^(a:H-a-,) I» dy^
dT\ Xd^x-^T^yX
^m-r^=^mgy;
remplaçant dans cette équation --r^ par sa valeur obtenue
en difTérentiant Inéquation (i), on a une relation difTérentielle entre or, ^ et /,
M dx^ dy^ ^^^ mT^' 'dï^^ di^^ ^^•^•
Quand la section est cycloïdale, on peut écrire
X = a{u — sinu), y = a{i — cosu);
et, si Ton pose m = Me, Téquation (a) devient d'où
On est conduit à effectuer une intégrale elliptique de seconde espèce ; mais la forme de Téquation montre que u qui croît d'abord ira jusqu'à htz; comme il ne peut dépasser cette limite si le canal est formé d'une seule branche de cycloïde, u décroîtra ensuite jusqu'à zéro; la durée de ces oscillations est d'ailleurs constante.
Les coordonnées absolues de m sont
ar -+- a?i = (1 )x = ( m — sin m), y = a(i — cosu>;
la trajectoire absolue se déduit de la cycloïde donnée en réduisant les abscisses dans le rapport de i à i -^ £. Le prisme a un mouvement oscillatoire en arrière, avec une
amplitude égale à -
2itas
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. 2g^
La pression exercée par m sur le prisme s^obtient en écrivant que c'est elle qui produit le mouvement horizontal du prisme. Comme elle fait avec la partie positive de Taxe des x l'angle t: — ^u, on aura
' dt^ n-e dt*
ma r, . d^u rftt'l
= (i — cosw) "j-r +sinu -j-r ;
