I -H s dt^ a(n-£COS*^a) d'où

1 d*u ^ ^esin f i^cos^ u I -+- £ dt^ "~ a(n- ecos* J a)'*

Substituant dans N et réduisant, on trouve une valeur essentiellement positive

/,x Tvi 2-4-6-+- £COS* 1 M . I

^ ^ (i-f- ecos* I a)* 2

Quand on néglige le carré de e, l'équation (3) devient întégrable,

dti/^ = rfa(i-- Jesin»}-M),

. /? sa E .

(1) ti/—=u --h-sinM.

Le temps d'une demi-oscillation est an f i — - j l/-'

Appliquant la série de Lagrange à l'équation (5), on a, avec la même approximation que précédemment,

On peut regarder cette équation comme exprimant la loi du mouvement.

ag6 DKUxiftiB partie. — chapitre ti.

59. Etant donnés un cône circulaire droit dont Vaxe est vertical et dirige de bas en haut, et une poulie homogène, de masse et de rayon connus, située dans un plan méridien du cône et tournant autour d'un axe perpendiculaire à ce plan, un fil flexible et inextensible est enroulé sur la poulie; un des brins du fil passe dans une ouverture infiniment petite pratiquée au sommet du cône et à son extrémité est attaché un point pesant de masse m assujetti à glisser sans frottement sur la sur/ace du cône; r autre brin descend suivant la verticale et porte à son extrémité un point pesant de masse m\ Trouver le mouvement de ce système en supposant que la vitesse initiale du point m soit horizontale et celle du point m' nulle.

On néglige le poids du fil.

(École Normale, juillet 1872.)

Soient {fig. 21)

Fig. 21.

Tn-

a le demi-angle au sommet du cône ; r la distance O m ;

9 Tangle dont a tourné le plan méridien qui contient celte droite ;

[X la masse de la poulie ;

a son rayon ;

I son moment d^nertie autour de son axe.

L'application des équations de Lagrange conduit aux. formules

, ,dr^ (dr^ ,€/0s \ dit

ou, en remarquant que

et posant m -+- w'-h - = M,

a/* dt^

ôU = g{m cosa — /n') 8r = ^m| 8r;

rfT ^, . <fr

^, =mr»e sin« a, ^ = o, = o,

On en déduit

rf/ t/O' ■" ^

ou

(i) r* -7- sin'a = const. = To^^oS*"*»

équation à laquelle on aurait été conduit immédiatement en remarquant que, les trois forces auxquelles est soumis le point m, la pesanteur, la réaction du cône et la traction du fil étant dans le plan méridien, le théorème des aires est applicable au mouvement de la projection de m sur un plan horizontal.

298 DECUfcMB PAITIS. — CBAPITEB Vl.

On a encore

ou, en intégrant après avoir éliminé ^9

.«V m. <'''* mr\v\ «

<3) M ^ H ^^ — a^m,r = coiist. = mp;— 2^m,ro;

c^est Téquation des forces vives appliquée à tout le s^'stème.

On a, en définitive,

±dl — /M

roi'o /m dr

±dQ =

^'"* rv\r — ro)[a^mir*-4-/iip;(r-*-ro)]

ce sont des intégrales elliptiques de deuxième et de troisième espèce.

Les circonstances du mouvement dépendent du signe de niy == m cosa — m\

1** /Wi -< o. — Les racines de la quantité entre crochets sous le radical sont réelles et de signes contraires; si ri est la racine positive, r varie entre r^ et Ti, et le point m touche alternativement les parallèles correspondants. Ces deux parallèles se confondent et le mouvement de m est uniforme si gra^ r© + mç»J = o.

Ce cas comprend celui où le point m se meut sur un plan horizontal.

2** iii| > o. — La quantité entre crochets est positive pour toute valeur positive de r : donc r, qui doit toujours être supérieur à Tq, grandit indéfiniment, mais cela exige un temps infini. Au contraire, la valeur correspondante 6| de 9 est finie, le coefficient de dr dans Fexpression de d^

ayant un dénominateur de Tordre de r^\ la trajectoire est

asymptotique à la génératrice ^i du cône, ainsi quUI est aisé de le vérifier en cherchant la sous-tangente polaire de la projection horizontale de la trajectoire.

3** nit = 0. — Les équations (4) deviennent intégrables; on trouve

cos

La projection horizontale de la trajectoire se déduit de la ligne droite en augmentant les angles polaires de ses divers points dans un rapport constant^ îl y si une asyniptote

2 sinx

située à la dislance p^^=: r^smoL du pôle.

On a encore

=7yiv/.-^=

il faut un temps infini à m pour parcourir sa trajectoire qui, dans ce cas comme dans le précédent, se trouvera limitée en fait par la longueur du fil.

60. Deux points matériels de masse m et m\ réunis par un fil flexible et inextensible qui traverse un anneau infiniment petit O, sont assujettis à se mouvoir dans un plan qui passe par O; le point m est sollicité par une force dirigée vers O et qui varie en raison inverse du carré de sa distance à ce point; déterminer le mouvement du système en négligeant la masse dufiL

On examinera, en particulier, le cas où la vitesse initiale du point m' est dirigée suivant la droite qui /oint la position initiale au point fixe O.

(Paris, novembre 1873.)

300 DErXlfcSE PAETIS. — CHAPITEE Tl.

Soient r el i^ les distances O/w, Om'; 6 et 6' les angles de ces droites avec un axe Gxe; le théorème des aires s^applique au mouvement de chaque point

relations auxquelles il faut joindre r -|-/^= l'% elles montrent que les vitesses angulaires varient en sens inverse Tune de Tautre : chacune d'elles conserve, d'ailleurs, son sens primitif.

L'équation des forces vives appliquée à tout le système fournit la quatrième équation du mouvement

si Ton y remplace les vitesses par leurs expressions en coordonnées polaires, et qu'on élimine les vitesses angulaires et r' à Taide des trois premières équations, on obtient

A r» ( / — r)« -H g {X mr( / — r )« — mc« ( / ~ r )« — m' c'* r«

équation dans laquelle

A = mvl ■+- m'v'} — •

Considérons le polynôme du quatrième degré

i F = Ar«(/ — r)»-i-ajimr(/— r)«— mc«(/ — r)«— m'c'«r«;

il est nécessairement positif pour r= r^, tandis qu'il est négatif pour r égal à zéro ou à / : il a donc au moins deux racines comprises dans cet intervalle. Si A^o, les deux autres racines sont également réelles, l'une est négative et l'autre supérieure à L Si A < o, ces racines peuvent être imaginaires; mais, si elles sont réelles, elles sont toutes

DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. 3oi

deux dans Tun des quatre intervalles séparés par

et il pourra y avoir trois racines, soit entre o et r^,, soit entre r© et l\ quoi qu'il en soit, r oscillera toujours entre les deux racines séparées par ro, et il ira de l'une à l'autre de ces valeurs a et ^^ dans un temps constant. La trajectoire de m sera formée d'arcs égaux compris entre les cercles de rayons a et p, qu'elle louche alternativement; celle de /?i' a une forme analogue entre les cercles de rayons l — a et / — 3. Pour que a = ^, il faut que leur

valeur commune soit ro, ce qui exige (-tt) = o, ou qu'à

l'instant initial la vitesse de m et, par suite/ celle de m' soient perpendiculaires au rayon vecteur correspondant, et qu'en outre r = ro annule la dérivée de l'équation P = o; cette dernière condition, en tenant compte de la première,

équivaut a ( -77^ ) = o, ou

me' m'c'*

ri (/-/-o)'

que l'on peut encore écrire

puisque alors

c = r^Po» c = r^ v'^.

Quand ces conditions sont satisfaites^ les deux points se meuvent uniformément sur deux cercles.

Dans le cas particulier proposé, c'= o, 0'= const. :

V ni — rn ^Br*-r- 2^r — c»

3oa DEUXIÈME PARTIE. — CRAPITEB VI.

Téquation de la trajectoire de m est

Cette courbe a pour rayons vecteurs ceux d'une conîqiip ayant son foyer au pôle, les angles polaires de tous les points étant augmentés dans le rapport de ^m -f- m' à ^7n. On trouvera la position de m en fonction du temps de la même façon que pour le mouvement des planètes; son mouvement sur sa trajectoire est d'ailleurs suflisamment déHni par la loi des aires.

61. Trouver le mouvement de deux points matériels pesants qui s'attirent proportionnellement à leur distance et qui sont assujettis à se mouvoir sans frottement y le premier sur une droite verticale donnée, le second sur un plan donné oblique à l'horizon.

On examinera en particulier les circonstances du mouvement dans les hypothèses suivantes :

1" Les deux points matériels ont des masses égales;

2° Leur position initiale est celle où ils resteraient en équilibre si leurs vitesses étaient nulles;

3° Les projections de la vitesse initiale du second point sur l'horizontale et sur la ligne de plus grande pente du plan sont égales chacune à la vitesse initiale du premier point ;

4** Le plan donné fait avec l'horizon un angle, dont

le sinus est égal à j.

(École Normale, juillet 1874.)

Nous prendrons pour origine le point O de rencontre du plan dans lequel se meut le point M et de la verticale que parcourt le point M', pour axes des x et des^^ la ligne de plus grande pente et l'horizontale du plan passant en O;

fi)

DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. 3o3

enfin soient 0M'= r et a l'angle du plan avec la verticale. Les équations du mouvement de ces points s'écrivent immédiatement, si Ton remarque que les composantes de MM' parallèles aux trois axes coordonnés sont respectivement rcosa — or, — j- et rsina; elles donnent

i-r-j =z ff -{- fm[ — (rcosa — j:)cosa — rsin'a] = g-^ fmi^x cosa — r),

-^ =^cosa -+-//n'(rcos« — J7), ^ = — fmy.

Ces^ équations montrent que le mouvement de la projection du point M sur Taxe des y est celui d'un mobile attiré par le point O proportionnellement à la distance; on a

( 2 ) ^ = \ cos t ^fm' -+- B sin / V^'*' i

Tcquation qui donne r s'obtient par l'élimination de x entre les deux premières équations générales du mouvement

--r-r -^f(j^-^^')-7j^ -k-/*mm' r^'in^T. = fg{m!-\' m cos* a),

d'où

/ r = Cl cos A:f -H Cj sin kt ^ ' -4-C3CosA:if -t-c^sinA:,; H- 2-i y, '-

X s'en déduit aisément

X = -5 — î (/m — A:*)(CiCOsX:^-HC| sinAï)

(/m — A-})(caCosA:t/-*-C4 sinX, /)-4- >^ ' j — col* a

Introduisons les hypothèses de l'énoncé dans les équations (i) : ce sera plus simple que de les introduire dans

3o4 Mmfcu rAiTii. — chapitu ti.

ces éqna dons intégrées; faisant m = m' el posant y/n = ji^, elles deviennent

^ =^— a«(jP«>sa — r), » t bis -JY = ^cosx-r- a'ircosa — j:),

dl^

Eo verta de la seconde hvpolhèse, les coordonnées initiales satisfont aux équations (i bis)^ dans lesquelles on ferait les accélérations nulles,

1 e — u*i T^ cos I — r.) = o, • 5 < ^ coç X ^ 5*'( '*• cos a — x^) = o,

d'où

i*' I -r- C05* a ^ a 4r cos «

Posons

et retranchons les équations (5) des équations (ibis)^ il vient

dt^

;j.*(Xcosi-

dt^

;a'(Rcos«-

-îi«Y;

remplaçant enfin les deux premières équations par les suivantes,

d^iH — X'i

di

= — îi*(H-cosa)(R — X),

DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. 3o5

on a un système de trois équations qui s'intègrent séparément.

D'après la troisième condition, les dérivées de X, Y et R ont, à Tinstant initial, la valeur commune c; tenant compte enfin de

Xo = Yo = Ro = o» cos a = J , on trouve que les intégrales générales se réduisent ainsi •

Rh-X = — sin- ix/, R — X = o, Y=-9inii/.

L'équation de la trajectoire de IVI s'obtient en éliminant ULt entre les valeurs de X et Y

[xîXi=4c*(X«— Y«).

Prenons des coordonnées polaires avec le point Xo^ J'o = o

pour pôle,

pi = 1 •

^ ;j* COSTCO

c'est une courbe du quatrième ordre, qui ressemble à une leniniscate de Bernoulli.

62. Trouver le mouvement de deux points matériels, assujettis à glisser sans frottement sur un cercle horizontal et s^ attirant mutuellement en raison inverse du

cube de la distance.

(École Normale, juillet 1876.)

Soient

m et m' les masses des deux points; / leur distance ;

r le rayon du cercle sur lequel ils se meuvent ; et 0' les angles que font les rayons qui aboutissent en m et m' avec un diamètre fixe du cercle.

Viixit. — CoinpoiUions. 90

3o6 MCUJt^ f-AlTU.

di di '

irrita' J .^ — le signe à prendre étant celui de sin \-H — b' >:

d'«iù les éqnatïoDS du mouvemeat

\ '" rf/! ~ Hr' sio» J.ft — 6,'

En combinant ces formules, on arrive aux suivantes : d'tt .d--V

La première, qui est la dérivée de 1 equatioa des aires, donne

cette équation montre que, si l'on considère sur la circonférence un point M, tel que, OM faisant avec le diamètre UQ angle 0, on ait

ce point, qui divisera 6 — 6' en parties inversement proportionnelles aux masses des deux points, se mouvra sur la circonférence d'un mouvement uniforme.

DYNAMIQUE DBS SYSTÈMES. 3o7

La seconde équation donne la loi du mouvement relatif; si Ton pose 9 — 0' = w, elle devient, en l'intégrant,

^ \dt/ \dt)o~ |4r* Vsin»la) sin^icoo/

ou

4r* (Zbis) ' jdtù \dtû%m\îù

I ^ v^i — A -+- A cos* ^ il)

sin'^ b>

équation dans laquelle nous avons représenté par A la constante

L'équation (3 6^$) est intégrable, et les circonstances que présente le mouvement relatif dépendent de la valeur de A:

I ** A > I . — Posons alors A = . , . > o <; a <[ - ; or,

en choisissant convenablement le sens dans lequel on compte l'angle (o, on peut toujours supposer o <I (Uo <I ^; l'équation (3 bis) montre alors que co variera entre ± a, le mouvement relatif sera oscillatoire et d'amplitude %'3l<^t.. Quand les mobiles se rencontrent, leur vitesse relative

-j- passe par l'infini; en vertu de l'équation (2), les vitesses des mobiles sont infinies et de sens contraires. Intégrant l'équation (3 fr/5), on a

la constante k devant être changée à chaque passage de la

3o8 DECUfcMB PARTIE. — CHAPITRE TI.

vitesse par Tinfini. La durée T d'une demi-oscUlalion relative est

T= — "^^^ - [log(/Âcos|a)H-v^i — Asin^ici))!!!!!,. jjL/A(/n-4-m')

(6) T= ; =log-— ^.

a<* A = ï . — La loi du mouvement est donnée par la formule

^ {x^/7i -+- ni' -J «/cii sîn } (u 4 '** cos J ci>

le signe à prendre étant celui de dtù tang-co; on en tire

{7) COS ^ tu = COS I CDo tf

-^ ) >- o, on doit prendre le signe supérieur, w >a

constamment en croissant et n'atteint sa limite supérieure 1; qu'au bout d'un temps infini.

Sif^j <o, comme par hypothèse 7r>a)0>o, on

devra prendre d'abord le signe inférieur; co décroît elles mobiles se rejoignent au bout du temps

T = — r- ■ log

à partir de cet instant, tang^co changeant de signe, le mouvement sera donné par la formule

cos -}««> = «

(i> deviendra égal à — ic dans un temps infini.

3** A < I . — La vitesse angulaire relative ne s'annule jamais, le mouvement est révolutif.

DYNAMIQUE DBS SYSTÈMES. SCK)

Soit d'abord A > o : on a

(8) cos-u)=-^-^L« *' -« *' J,

les signes supérieurs étant pris quand é/co sin ^ co est positif; or, le mouvement étant révolutif, dtù ne change jamais de signe; on devra donc, dans la formule (8), changer de signe et de constante k à chaque rencontre.

L'intervalle qui sépare deux rencontres consécutives est

rg) T = , 1:' . log i-t^ .

|x /a ( m -+- m') 1 — /a Pour A = o, on a les formules

(lO) COSf O) =z^(f -H A) ' ^ > T=:

4 ''* jx ///i -h m'

Soit enfin A = — B <! o, on obtient

cosico = ^~-^cos[^ ^^ ^^^, -'(^-*-A0j,

(II) { T= ^^' nrr^ini/-

arc tang/B.

|xv/B(//i-+- m')

63. Mouvement de deux points matériels de masses m et m', s' attirant proportionnellement à la distance et assujettis à se mouvoir sans frottement sur deux cercles concentriques de rayons a et a' situés dans un même plan horizontal. On suppose les deux mobiles en repos à Vorigine du temps»

Cas des oscillations infiniment petites.

(Paris, novembre 1877.)

3 10 DEUMÈMB PARTIE. — CHAPITRE Tl.

Suivant la même marche que dans Texercice précédent^

on a

aT = ma^

SU =-~|JL«m/n'/o/ = ix»mm'oa' sin(e — 6')(oe — se'); d'où les équations

ma* -rj = — [jl* mm' aa' sîn( 6 — 8'),

m'a'* ^ = [jL»mm'aa'sin(e — 6'),

que Ton peut remplacer par les suivantes :

,rf«e , ., rf«e'

'-^ j rfi(e-e') / a ,«'\ . ,A A'x

La première, en tenant compte des circonstances initiales et choisissant Taxe polaire tel que

ma* 6o -h m' a'* 6J^ = o,

devient, en intégrant^

(3) ma*e-+-m'a'«e'=o,

formule qui montre que Taxe polaire divise Tangle des rayons vecteurs des mobiles en parties inversement proportionnelles à leurs moments d'inertie par rapport au centre commun des deux cercles.

La seconde nous donne

(4) (-^) =aA'«|x>(cosu>--cosa)o),

si Ton pose, pour simplifier,

,. ma*-^ m'a'* aa

DYNAMIQUE DBS SYSTÈMES. 3lT

elle prouve que le mouvement angulaire relatif est celui

d'un pendule simple de longueur L=x^> abandonné

sans vitesse initiale.

Dans le cas des oscillations infiniment petites, la seconde des formules (2) peut s'écrire

d'où

6 — e'=(eo— 6o)cosfxA'f,

ce qui donne finalement

^ ^ \ e'.= e;cos|xA7;

chaque mobile oscille comme un pendule simple de longueur L.

64. Un tube circulaire, infiniment petit, peut tourner librement autour de l'un de ses diamètres qui est fixe; dans V intérieur du tube peut se mouvoir sans frottement un point matériel.

Déterminer le mouvement de ce système en supposant que les seules forces qui agissent sur le tube et sur le point soient leurs réactions normales mutuelles.

On donne le rayon r du cercle, le moment d* inertie A du tube par rapport à V axe fixe et la masse m du point

mobile,

(Paris, juillet 1880, i" question.)

L'axe de rotation étant pris pour axe polaire, soient ^ Tazimut et Q l'angle polaire du point mobile. Aucune force extérieure autre que les réactions de Taxe fixe n'agissant sur le système, le théorème des aires donne

(I) (A-4-/nr»sin»0)^^ ^ c,

at

3l2 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.

équation qui montre que le tube est animé d*un mouvement révolulif, avec une vitesse angulaire d'autant plus faible que le point mobile est plus voisin de Téquateur.

Le théorème du travail et des forces vives fournit la seconde équation du mouvement; exprimant que la force vive totale du système est constante, on a

Uéquation différentielle du mouvement est donc (3) di=)- / ^ ;

et celle de la trajectoire

/A -\- mr* sin*0 /6*( A -h mr^ sin'6) — c'

on les ramène aux fonctions elliptiques en posant

A ^- mr^ sin*6 = u.

L'équation (3) montre que la vitesse du point dans le tube est d'autant plus grande que ce point est plus rapproché de l'équateur; elle varie donc en sens inverse de la vitesse azimutale.

Les circonstances du mouvement dépendent du signe de

6« A - c« = mr* Ta (^)*— f ^)%in«eo(A -4- mr^ sin^Oo)] .

r* ô^A — c^>> o. — -j- ne s'annule jamais, le mouvement du point dans le tube est révolutif.

a" b'^ A. — c'<Co. — Comme on a nécessairement c^ — &2 \<- mr^b'^, ce que d'ailleurs l'on vérifierait aisément, on peut toujours poser

c* — 6*A ~ //ir*6* sin*a;

DYNàXIQUB DBS STSTÈMRS. 3l3

le mobile oscille entre les deux parallèles a et tc — a. Ces parallèles se confondent et le point reste sur l'équateur si l'on a

c' — 6* A = mr' 6* ou 6(,= o, (^) =^'

3® b^\ — c^=o. — Les équations (3) et (4) deviennent intégrables et l'expression de dt prend la forme

o sinQ

le mobile se dirige vers l'un des pôles qu'il n'atteint qu'au bout d'un temps infini, le degré d'inGnilude de la fonction à intégrer étant égal à l'unité.

6o. On donne un cône de révolution dont l'axe Oz est vertical et l'angle au sommet égal à 2ol] en O se trouve une très petite poulie sur laquelle passe un fil de longueur /, portant à ses deux extrémités des poids égaux M et M'; M est assujetti à rester sur la surface du cône, M' sur l'axe Oz»

Déterminer le mouvement.

On supposera pour les données initiales que, pour t = o, OM = ro; que la vitesse initiale Vq du point M

est égale à \Jigh et dirigée tangentiellement au parallèle du point de départ, et par suite que la vitesse initiale de M' est nulle.

On s'attachera particulièrement à fixer les limites entre lesquelles varie la distance OM = r. On considérera en dernier lieu le cas de h = irosin^ -'

(Paris, novembre i88o.)

Ce problème n'est qu'un cas particulier de celui du n** 59; faisant dans les formules obtenues jx = o, m = m',

3l4 KTXltSE PABTIE. — CBAMnE \U

el par suile M=:2iw, /», = — a/n sin- -» on

r-di =

r^S th dr

«inz

ri \,r — /•p»JA(r — r©) — ar* sin* - 1

le mobile M oscille entre les parallèles

r. el r|= > ?•

4 sin» -

Le résultai de la substitution de r = ro dans le trinôme /ir — r^ — ar^sin'- étant aro(/i — rosin^-K il en résulte que r^ ^ r©, suivant que

h — r«sîn* - ^o;

si celte quantité est nulle, le point M décrit un parallèle; la tension du fil reste alors constante et égale à mg. Dans le cas particulier de Ténoncé, on a r, m aro.

60. On considère deux points matériels M, M' de masses m et m\ que Von suppose non pesants. Uun d^eux M est assujetti à demeurer sur un plan P; Vautre à demeurer sur une droite O^, perpendiculaire au plan P. De plus, ces deux points sont reliés par un fil tendu MOM' de longueur /, qui passe par une petite ouverture pratiquée en O dans le plan P.

On demande de déterminer le mouvement de ces deux points, en supposant qu'ils se repoussent proportionnellement à la distance, la répulsion mutuelle ii la

DYNAMIQUE DES STSTÈMBS. 3l&

distance i étant (x. On négligera le frottement, et Von représentera par r© la distance du point O à la position initiale de M, par r© la vitesse initiale de M, qui sera supposée perpendiculaire à OMo.

(Paris, novembre 1881, i** question.) Soient

z l'ordonnée du point M'; r la distance OM^

6 Tangle de cette droite avec une droite fixe O^, tracée dans le plan P.

On a

Les forces qui agissent sur le point M sont la réaction du plan P, la tension du (il et la répulsion exercée par M'; ces trois forces étant le plan passant par O;? et le point M, le théorème des aires est applicable,

Le principe des forces vives fournit la troisième équation du mouvement

(3) m '^''* ^J^l '^' + m' ^g -mvl^-if ^iRdR= ,x(R«-Rj), R étant la distance MM' ; celle équation peut s'écrire

dft /.' /.s

(m-t-m')g^ -H/ni;; ^ ^^ = 2p.(r — ro)(r— ;5o)»

d'où les formules

v/m -+- m' r dr

■±dt =

, sj{r — r^)['i^r^{r — zç^) -^ mvl(r — r^)]

-. |/m -f- /n r^Vn dr

rV^(r—ro)[2|xr>(r—^o)-^ ''«*'?('• -^'•o)3

3l6 DECXlfcXE PARTIE. — CHIPITHE Tl.

on ramène la première aux fonctions elliptiques de première et de seconde espèce, en posant r — r© = - • Soit le polynôme

P = ajJLr«(r~-5o)H-mpî(r-+- ro);

Téquation qu^on obtient en l'égalant à zéro a toujours ane racine négative, et comme sa transformée en — r n'a qu^une variation, les deux autres, si elles sont réelles, sont positives; de plus, cette équation n*a aucune racine supérieure à^e, puisque, pour r^So, P>>o. Les circonstances du mouvement dépendent du signe du résultat de la substitution de r=ro dans le polvnôme P,

i" Po<o. — L'équation P=o a deux racines positives Tl et r2, séparées parro,

o < r, < To < r, < 5o,

le point M oscille entre deux circonférences de rayons r, etri.

2° Po > o. — Les deux racines r^ et r2, sî elles sont réelles, sont toutes deux inférieures ou supérieures à r^. Pour reconnaître si r doit commencer par croître, puisque

d'où

il en résulte que, si les racines r^ et r2 sont réelles et inférieures à To ou imaginaires, r ira constamment en croissant de To à /, limite imposée par la longueur du fil. Enfin r oscillera entre r^ et la plus petite des deuxra-

DYNAMIQUE DES SYSTÈMES, 3lj

ciaes si celles-ci sont supérieures à /^o* Toutefois, dans le cas où elles seraient égales, le rajon vecteur n'atteindrait sa valeur maximum qu'après un temps infini. Il y aurait lieu de faire la même restriction pour les exercices n°* 37 (3«)et60(ao).

3** Po = o. — La vitesse et l'accélération radiales -^

at

et -TT^ étant nulles à l'instant initial, le problème admet

la solution singulière /' = const. = Tq. En effet, si le point M décrit une circonférence, le point M' reste en repos; la tension du fil est donc

T = [X-Sot

et l'équation du mouvement de M est

— ^ =— |xro-+-T = p.(zo— ro):

le mouvement prévu est donc possible.

Il est aisé de reconnaître que ce mouvement est seul admissible ; car, si Ton prend la première des équations (4), elle devient

.^. , f . //n -H m! rdr

(6) dtidt'^U . ^^^^^ ,

(r-r,)^r^-^{iiro-^l)r-^-^(2ro-l)

et elle montre que r, partant de ro, ne peut varier d'une quantité infiniment petite e qu'au bout d'un temps infini» le degré d'infini tude de la fonction à intégrer étant égal à I pour r = To -h e.

Cette importante remarque s'applique aux cas analogues des exercices précédents, dans lesquels la trajectoire, ou sa projection, est la limite d'une courbe festonnée, comprise entre deux cercles concentriques, dont les rayons tendent vers une valeur commune.

3l8 DECXIÈJIB PARTIS. — CHAPITRE VI.

67. Deux points matériels M et M' de masses m et m sont fixés aux extrémités d'un fil flexible et inextensible de longueur /, qui passe sur une très petite poulie O. Le point M est soumis à une force répulsive émanant du point O, inversement proportionnelle au carré de la distance OM et dirigée constamment suivant OM. Le point M' est assujetti à se mouvoir sans frottement sur une courbe plane donnée C, dont le plan passe par le point O.

Étudier le mouvement des points M et M'. On représentera par \\km la force répulsive à l'unité de distance; on prendra l'équation de la courbe G en coordonnées polaires sous la forme ^'=f(^r'), r^ désignant la distance OM'. On supposera nulle la vitesse initiale de M'; celte de M sera supposée dirigée dans le plan de la courbe C, perpendiculairement au rayon vecteur initial, et sa grandeur sera représentée par I /j> k étant

donné.

On ramènera le problème aux quadratures.

Trouver Véquation de la trajectoire du point M,

lorsque la courbe G est une spirale logarithmique ayant

O pour pôle.

(École Normale, juillet 1882, i^ questioo.)

Appliquant le théorème des aires au point M et le principe des forces vives à tout le système, on a les équatioDs

Or

Ali ^ *!•! ' An ^ ^ An An l» ^ '^ / v^ >>'

DYNAMIQUE Dl!S STSTËMBS. SlQ

d'où la relation entre r et t

Enfin la trajectoire de M a pour équation différentielle

Le trinôme (t-t-— )/*^ — /• — '-r àoh être conslam-

r* ment positif; or ses racines sont r© et /"i =- — . ^ : r ne

peut donc être inférieur à To et commence par croître; il en résulte que r^ décroît et que le point M' se meut sur la courbe dans le sens vers lequel / diminue jusqu'à ce que

/•' devienne minimum. A cet instant -^ ^= o xf'^t-^) = x> :

donc -j- passe par z 'ro et r commence à décroître ; il n'en

est pas de même de -^ =^/'(r)-j- i qui prend alors la valeur

y'Tn) '~ mv^ \I- "*" ^ "■ 7- " ÂTij'

différente de zéro. 9' continue donc à varier dans le même sens, jusqu'à ce que M^ atteigne un point de la courbe C pour lequel on ail encore /= r^y et ce mobile oscille sur la courbe C entre ce point et sa situation initiale. Si H n'admet pas de minimum, le mouvement de M' est révolutif; celui de M l'est dans tous les cas. Enfin, dans le cas où Tq serait maximum, le sens du mouvement initial de M' serait indéterminé et il en serait de même à chaque pas* sage par la position initiale.

320 DBUllfeME PARTIE. — CHAPITRE TI.

Soil, pour la courbe C, la spirale logarithmique,

•^ ^ ' nr

COSti),

d'où l'équation dilTérentielle de la trajectoire de M

qui donne, en l'intégrant et faisant passer Taxe polaire par la position initiale de M,

(6) -îî=— — -^(n ) cos — — ^ = -

Cette courbe, indépendante de la longueur du Gl, admet les mêmes rayons vecteurs que Thyperbolc

(7) — = hflH )

pour des angles qui sont à co dans le rapport constant 4/ I H- — ( I -h -^]> mais il n'y a qu'une portion de la

branche gauche de cette courbe qui convienne : c'est celle qui correspond aux valeurs de 8 comprises entre zéro et 8| répondant k r= L Pour r = /, le point M' est arrivé

au pôle, 6' = — 00 , dans un temps fini, ce qui s'explique

//ft' en remarquant que-i-) nul à l'origine du mouvement, tend

vers — 00 en même temps que 6'.

68. Un point pesant M de masse m i^fig^ 22) est tissu je tti à rester sur une circonférence verticale C. Ce point est à l'extrémité d'un fil qui passe dans un o/ineau infiniment mince A situé au point le plus haut de la circonférence C et qui vient ensuite s'enrouler sur la

DYNAMIQUE DBS SYSTÈMES. 3a I

grande roue d'un treuil T, Le Jil enroulé sur la petite roue de ce treuil porte à son extrémité un point pesant M' de masse m'.

On demande de déterminer le moui^ement de ce système. Après avoir traité la question d'une manière générale, on examinera particulièrement le cas où la vitesse initiale de M serait nulle.

Nota. — On désignera par R le rayon de cercle C, par r et r' les rayons de la grande et de la petite roue du treuil; soit de plus MK^ le moment d'inertie du treuil par rapport à son axe.

(Paris, octobre i88a, i'* question.) Soit Cl) l'angle dont a tourné le treuil pour un angle

Fig. aa.

ACM = 8, parcouru par le point M; si Ton compte cet angle Q dans le même sens que co et de o à 27c seulement,

on aura

^ . 8 rfo) R rfe 6

ro> = 5t R sin - ) — r- = 7- cos - •

1 at r at 2

Le système étant à liaisons complètes, le principe des forces vives suffît pour déterminer le mouvement. La force Vaut. — Compositions. 31

3aa DECxiftsu partis. — chapitrs ti.

vive du système est à un instant t

= (S)' ["■•«■^("'■'•■^ MK") ï <»•• ;] :

le travail des forces, non compris les liaisons dont le ira* vail est nul, a pour expression

const. — ^m R cos6 — gm! r'tn

(r* fi \

mcosO -f-am' — sin - j»

d*oii Féquation

"^Kdi) r^ ?i ^^^"îj

. / . mV . e\

= A — ig\ /ncosO-H a sin - );

\ r -kj

Tétude du mouvement est ramenée à une quadrature abélienne.

Si la vitesse initiale de M et par suite du système est nulle,

A = a^- f m cos^o -4- a sin ~ 1 ,

et Téquation du mouvement devient

= 4^ [m (sin* - - sin« -^) -- ^ (sin ? ~ sin ?j)].

Le second membre de cette équation, égalé à zéro. admet la racine sin ~; soit a Tautre racine

a = sin — >

mr a

le mouvement dépend de la grandeur de a.

DYNAMIQUE DES STSTfcXBS. SqS

i** a <C sin — • — Le point M oscille sur la partie inférieure du cercle entre Mq et son symétrique M| par rapport au diamètre vertical AC.

2° a >> sin — • — Il y a encore mouvement oscillatoire

entre Mo et M|, mais il se produit sur la partie supérieure de la circonférence.

3^ a = sin — • — Cette condition équivaut à la relation

asm — = ;

a mr

or le travail élémentaire a pour expression

>?•« cos - ( am sin ) oD :

donc il est nul à Finstant initial et le système est en équilibre.

Reprenons la discussion dans le cas général où la vitesse initiale de M est quelconque; Téquation du mouvement peut s'écrire

""Kâi) ["'-- — 7^ — ^^^'îj

/ .0 mr . A \

= 9.£' ( 2/nsin' 2 sin — ■ m],

\ îi r x ig 1

Le second membre de cette équation est un trinôme en sin - dont les racines peuvent être imaginaires ou réelles;

si elles sont réelles, sin -^ est en dehors des racines, et

comme leur somme est positive, la plus rapprochée a de

sin — est positive; on peut donc distinguer les cas suivants :

I** Les racines sont imaginaires, — zn ^^ s'annule jamais et le mouvement de M est révolu tif.

3a6 DEUXIÈME PARTIE. — ^ CHAPITRE VI.

Si la vitesse initiale relative Vq est perpendiculaire au rayon vecteur r©, les axes de TelHpse sont r© et-^=L.>ci»

pour que les trois ellipses décrites soient égales, il faut

que Ton ait

rii=r^ = rl avec vo=i^!) = t'o,

ou bien

'•o=/''o=— = et i»o= ^'0 = /-; /jiM.

Dans le premier cas, les positions initiales des trob points sont sur une même circonférence, et, pour que leur centre de gravité soit à Torigine, il faut, puisqu'ils ont des masses égales, qu'ils occupent les sommets d'un triangle équilatéral; de plus, leurs vitesses initiales tangentes à la circonférence doivent être dirigées dans le même sens.

Quant au second cas, pour qu'il soit réalisable, il faut

que l'on ait

2 Tq cos a — Tç, a r© cos a = t^'^,

a désignant l'angle de GM avecM^G; or cette double condition, jointe aux précédentes, entraîne r^=ro, et les ellipses deviennent une même circonférence ; on n'a donc là qu'un cas particulier du précédent.

70. Une barre pesante et homogène AB est fixée par une de ses extrémités A, et elle peut tourner librement dans l'espace autour de ce point. Un fil fixé à l'extrémité B vient passer dans un anneau infiniment minceO, situé sur la verticale de A, au-dessus de ce point et à une distance égale à la longueur AB de la barre; îlr^ tombe ensuite suivant la verticale OA, portant à son extrémité C un point de masse m.

On demande de trouver le mouvement de la barre en Jaisant abstraction de la masse du fil.

(Paris, novembre i883, i'* question.)

de gravité des trois points, et l'on exprimera tes coordonnées des trois points en fonction du temps et des données qui font connaître les positions et les vitesses initiales des trois points ;

2** En supposant les vitesses initiales perpendiculaires respectivement aux rayons vecteurs aboutissant au point Go, et supposant, en outre, /n = /n' = w", on demande quelles relations doivent exister entre les positions et les vitesses initiales y pour que les trajectoires des trois points soient trois ellipses égales entre elles.

(École Normale, juillet i883, i"* question.)

Le centre de gravité se meut d'un mouvement rectiligne el uniforme, et le mouvement du point M projeté sur un axe Gx en translation avec le centre de gravité satisfait a l'équation

m --- — iimnt'ijr' — x) -h (jL/?im'(a'' — x)

on, en remarquant que

m j- -+- ni'x'-h m' x' = o

et posant m -h m' -+- /?' ' = M ,

le mouvement relatif est donc celui d'un point sollicité vers Forigine par une force proportionnelle à la distance, et les trajectoires relatives sont des ellipses ajant leur centre au centre de gravité du système.

Les formules qui donnent le mouvement relatif de Pun de ces points sont

X = aro cos / /liM h — -^^ sin t v^llM, y= y^ cos t /jjlM -4- /^ sin t /jîSÎ.

3a8 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE TI.

à Tunité sîn— et sin — > séparées par sin — • Il en résullc

que rextrémilé B de la tige oscillera entre les parallèles hx et 63 parfaitement déterminés, puisqu'ils sont définis par

les sinus des angles — et — •

Si la vitesse initiale de l'extrémité B est dans le plan azimutal Oo* I^ mouvement a lieu dans ce plan : on ac = o et l'équation (2) est de même forme que celle du n° 68; elle donne lieu à une discussion identique.

71. Deux barres homogènes pesantes AB, A'B' de même longueur 2a et de même masse M sont reliéen Vune à Vautre par deux tiges PiA.\ BB' rigides, inextensibles et sans masse, de même longueur L La barre supérieure AB est mobile autour de son milieu qui est fixe, et le système tout entier est assujetti à se mouvoir dans un plan vertical invariable xOy\ Etudier le mouvement de ce système.

Nota. — On désignera par MA** le moment d'inertie de chaque barre par rapport à son milieu, par 6 Vangle que fait la verticale Oy avec la droite 00' gui joint les milieux des deux barres, et par ç Vangle que fait la droite OA avec l'horizontale Ox.

(Paris, juillet 1884, i'* question.)

Appliquons les formules de Lagrange.

Le travail élémentaire SU est celui de la pesanteur appliquée au point C, milieu de 00' et centre de gravité du

système

8U= — M^/siD6 8e.

La force vive de AB est MA** ^; celle de A'B' est égale

à sa force vive MAr* -î^ relativement à des axes en iransla-

dt^

tion avec son centre de gravité O', augmentée de la force

DYNAMIQUE DBS STSTÈXES. 3^9

vive M /^^ du point O', auquel on aurait transporté

toute la masse de la barre.

On a donc

fit* * dt* '

a^ a9 dt

d'où les deux équations du mouvement

2MA:*-=-r = '>» -/ = consl.

dn dt

La première montre que le mouvement de rotation de la barre AB s'effectue avec une vitesse angulaire constante; la seconde n'est autre que Téquation du mouvement d'un pendule simple, de longueur /.

72. Déterminer la figure déséquilibre d* un fil homogène fixé en deux de ses points A et B, et attiré par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance»

(BcsaoçoD, juillet 1880.)

Soit plus généralement R =/(r) l'expression de la force attractive; les équations de l'équilibre sont, en appelant T la tension du fil au point m(x, y^z),

dx X

ds r

(1) I d.T^^ -H^ds = o,

' ds r

d,T^ —R-ds = o,

ds r

33o . DEUXIÈME PABTIE. — CHAPITRE VI.

Démontrons d^abord que la courbe A/nB est plane. En combinant deux à deux les équations précédentes pour éliminer les seconds termes, on a

xd,T-z zd.T-y- = o ou d,T{x-, ^ -r- I = o

as as

eij en intégrant,

T(x dy — y dx) = c ds^

T(xdz — zdx)= Cids.

Divisant ces équations membre à membre et intégrant

deux fois, on a

cz = ciy -h kXf

équation d'un plan passant par le centre d'attraction. Prenant ce plan pour plan des xy^ nous ne conserverons que les deux premières équations (i), que nous remplacerons par les suivantes :

dT =Rdr ou

<3) T = c'-+-/Rc?r.

Eliminant T entre (2) et (3), on a l'équation différentielle de la figure d'équilibre en coordonnées polaires

ift J-.cdr

Le rayon de courbure p d'une courbe plane a pour expression

rdr

DTXàMIQUE DBS SYSTÈMES. 33 1

or Tëquation (a), qui exprime que le moment de la tension est constant, peut s^éenre

d'où

, , c cRdr

dp = d=, =— --T

et, par suite,

T {c'f-fHdr)^

r(c'-¥-fRdry cH

Telle est l'expression du rayon de courbure en fonction du rayon vecteur.

Dans le cas particulier de Ténoncé,

Téquation (4) devient

-. i^r. c dr ZT- c dz

/•/(jl Cl')' c* /c'* — 1 \XC'Z H- ( jA* — C^)Z^

en posant - =z z. L'intégrale prend des formes différentes suivant le signe de jx* — c^. Soit, par exemple,

;jL* — c* = — /i* ; on trouve

- ~r -^ t: A'- 1^* cûsf -^/^, - A

Pour déterminer les trois constantes n, d et a, on a les conditions que le (il passe par les points donnés A et R, et qu'il ait une longueur donnée; si ces conditions ne fournissent pas des valeurs réelles pour les constantes, on en conclura que la forme adoptée a /^rior/ pour l'intégrale

33a DRUXIÈXE PARTIE. — CHAPITRE Yl.

n^esl pas admissible, et Ton recommeDcera le calcul en partant d'une autre forme.

En général, la courbe est rectifiable, car on a

dsz= dri/ IH -,-r- = -;- ^^^

d'où

s = c"— ^, /(jx— c'r)

i— ni