Une barre homogène et très mince, reposant sur

un plan horizontal par Jaitement poli, est choquée par

une bille dont la vitesse est perpendiculaire à la barre:

en supposant les deux corps parfaitement élastiques^

on demande le mouvement qu'ils prendront après ie

choc.

(Caen, novembre i8So.)

Soient

M la masse de la barre ;

2/ sa longueur;

p sa masse par unité de longueur;

a la distance du point choqué au milieu O de la barre ;

i^o la vitesse initiale de la bille de masse m ;

Et à la fin du choc :

r la vitesse de la bille ;

V celle du centre de gravité O de la barre;

b) la vitesse angulaire de la barre autour de O.

Les forces qui agissent sur le système étant intérieures à ce système, les projections et les moments des quantités de mouvement n*ont pas changé pendant le choc, puisqu^il n'y a pas de force extérieure. Il en résulte d'abord que, <?o et (^ étant de même direction, il en est de même de V; si donc on projette les quantités de mouvement sur la direc-

tion de la normale à la barre el qu'on prenne les moments autour de O, on a les équations

( I ) mvo = mv -h- MV,

( 2 ) mavQ = mav -î- ^ 1 p dr. r* eu = mav h ^ w.

Enfin^ les deux corps étant supposés parfaitement élastiques, la période de choc présente deux phases dans chacune desquelles les sommes des travaux des forces développées par le choc sont égales et de signes contraires; exprimant donc que la force vive du système n'a pas changé, on a Téquation

ou

mp*= mv^

f pdr{\-^ruiy-^ f pdr(\ — ru>y

(3) mi;* = mv« ^- M ^ V* -h ^^

Éliminant Vq — ^ entre (i) et (2), on a

aV =

puis successivement

d*où

74. Montrer comment varie le moment d'inertie d'un cube homogène par rapport aux diverses droites qui passent en un sommet O du cube; déterminer les axes principaux et les moments principaux d'inertie relatifs au point O.

On suppose que le sommet O est fixe, tandis qu^ aucun autre point n'est soumis à l'action de forces extérieures; le cube, libre de tourner autour du point O, est d'abord en repos lorsqu'une des faces qui aboutissent au sommet fixe vient à être choquée, en son centre, par une très petite sphère, animée d'aune vitesse de translation donnée perpendiculaire à la face choquée. On demande le mouvement que prendront ^ après le choc, les deux corps supposés parfaitement élastiques,

(Caen, juillet f883.)

L'ellipsoïde central relatif au centre de gravité C du cube se réduit à une sphère, et, si 2a est la longueur de Taréte du cube, M sa masse, le moment d'inertie autour d'une droite quelconque passant en C est |Ma-. Le moment d'inertie I relatif à une droite passant en O est, si l'on appelle d la distauce de C à cette droite,

I = f Ma»-+-M</2;

il est minimum pour rf = o, ^'est-à-dire pour la diagonale. OC du cube et maximum pour toute direction normale à OC, d = a^; le valeur de ce maximum est '3- Ma'-*. L'ellipsoïde d'inertie de O est donc allongé et de révolution autour de OC.

Le moment d'inertie pour une droite OP faisant avec les arêtes du cube des angles a, ^, y a pour expression

I = I Ma'-h M[3a*— «'(cosaH- cos ^ -h cos 7 )« ] = 'iMa^{\ — cosacosp — cosacos^ — cos^cosy)-

L'axe de la rotation instantanée due à la percussion est le diamètre de l'ellipsoïde d*inertie de O, conjugué du plan qui passe par la vitesse initiale Vo de la sphère de masse m et le point O ; or ce plan contient OC : c'est donc un plan principal^ l'axe de la rotation instantanée est, par

suite, normal à la droite qui joint O au centre de la face choquée et dans le plan de celle face. Cet axe, étant d^aiJleurs axe principal de Tellipsoïde, est axe permanent de rotation, et la vitesse angulaire de rotation co est constante. Pour déterminer co ainsi que la vitesse ç de la sphère après le choc, appliquons à la période de choc et à l'ensemble des deux corps le théorème des forces vives et celui des moments des quantités de mouvement autour de Taxe de rotation; on a les équations

(i) mi»J = mt^-f--U.Ma'(i>*,

(2) /wa /â(>o= 'wav/îv -4--y-Ma*(o;

d'où et enfin

(O zsz

-HP — a^'À(x}

2 /2/WP0 a(2/ii-H-y-M)

la vitesse ç est, en général, négative, puisque m est très petit; elle devient nulle pour m = ^]VI, et positive si

C7IOXCÉS DES SUJETS DB COMPOSITIO.XS DOiO'iS AUX FACCLTÉS

DE PAftlS ET DB FRANCE.