IV K. K

K -+- i'o ^^^S ir ^ cos -^ 4- i'o sin -jr-

jr Gt . Gt

K» K cos ^ -h i'o sin -^

Le mouvement change de sens quand ^ s'annule, alors

ti = jT arc tang tt et comme, en général,

^=ÎG^^^K^' la hauteur correspondant k i>= o est

Enfin, si m = m', la formule du mouvement est

dç 9. a

dt , I

=A^, a? = -r log(n- Ai'o<)^-^o• i' i'o A °

57. Une droite homogène A A' de masse m' et de longueur 2 a est assujettie à tourner autour d'un axe vertical auquel elle est perpendiculaire et qui passe par son milieu O. Un point mobile M de masse m, assujetti à rester sur cette droite , est attiré par le point O pro-

portionnellement à sa distance à ce point. On donne la vitesse angulaire initiale cOq de la droite, la position initiale du point M sur la droite et sa vitesse initiale relative. Trouver le mouvement du système.

On appliquera les formules au cas où le point M est placé d'abord à l'extrémité A de la droite sans vitesse

relative. On supposera, en outre, m' = — et le coe/Ji-

cient d'attraction f= 4^o'

(École Normale, juillet 1870.)

Nous mettrons le problème en équation en employant successivement les quatre méthodes précédemment indiquées :

i^ Introduction des forces de liaison, — Soit N l'action de la tige sur le point M, comptée dans le sens de la rotation positive; les équations du mouvement du point M

sont

m —r— = — fmx - IV — >

d^y V. TVT ^

d'où, en éliminant N,

Or, de

X dx -\-y dy — r dr

on tire, par différentiation,

xd'^x-^yd^y = dr^ -i- r d^ r — ds^ = rd^r — r^ d^^,

ce qui donne l'équation différentielle de la trajectoire du point M

La tige est un corps solide tournant autour d'un axe fixe et

soumîs à la force — N : son mouvement angulaire est donc déterminé par l'équation

dt^

— Nr m/ d^y d^x\

~~r~ '~~T\''dti^^~di^r

le moment d'inertie I de la tige par rapport à l'axe de rotation est

l'équation du mouvement de la tige, intégrée une première fois, donne

rfô ^m X dv — V dx . 3m ^ d^ .

dt m'a^ dt m! a'^ dt

(2) ^(w'a2-4-3mr2) = X:î=Wo(3/?îrJ-t-/n'aî),

équation d'un mouvement révolutif dans lequel la vitesse angulaire décroît quand r croît. Quant au mouvement relatif du point M sur la tige, il est déterminé par l'équa-

tion que l'on obtient en éliminant -r. entre (i) et (2) /qx d^r r^* -

qui se ramène aisément au premier ordre

2® Théorèmes généraux de la Dynamique. — Aucune force extérieure autre que la réaction de l'axe de rotation de la lige et celle du plan horizontal n'agissant sur le système considéré, le théorème des aires projetées sur le plan horizontal est applicable, puisque^ ces forces ont des

ViLLié. — Compositions, 19

2gO DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE Vf.

moments nuls autour de Taxe de rotation; il donne .

/7ïr* -r- -H I j- = const. :

cit ai

c'est IVquation (a).

Le principe des forces vives fournit l'équation

mv^-\- -7-j I = — 2 I fmrdr-\- const. = — fmr^-+-c^my

qui conduit à l'équation (4).

3® Equations de Lagrange. — Formons la demiforce vive T du système et le travail virtuel SU des forces tant extérieures qu'intérieures, non compris les liaisons, pour un déplacement compatible avec ces liaisons

-H-fôy-Ksn-KS)"'

= - mr * -H —

Su = — fmr or = R 8r,

d'où

<iT ^, dT ,

dr dr

dT dT .,/ , m'a^

et enfin, en appliquant les formules de Lagrange,

~ reYmr2H- ^^)1 = o, e'(3mr2-+- m'a2) = /^

qui ne sont autres que les équations (2) et (3).

4° Le principe de d'Alembert, joint à celui des vitesses

DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. agi

virtuelles, fournit l'équation générale

2[ (^ - '" rfï) ^^ ^ ^ - "' î?) ^^' ^ ^' - "' S^) '''] = "•

dans laquelle X, Y, Z sont les composantes parallèles aux axes de la résultante des forces réellement agissantes (abstraction faite des forces produites par les liaisons) pour le point du système de masse m, et Zx, ùy^ ùz les composantes d'un déplacement virtuel de ce point, compatible avec les liaisons.

Si, dans le problème actuel, on désigne par x! et j^' les coordonnées d'un point quelconque, de masse dm\ de la tige, Téquation précédente prend la forme

Or, en vertu des liaisons,

Ix — 8(r cos6) = - or — y oô,

87 = 8(rsinO) = ^8r-4-a7 80, 8:p' = — /8e, 8/ = x'8Ô;

d'où, en égalant séparément à zéro les coefficients des variations arbitraires 8r et S9,

fm ■■ — -H m ( -7-- — h -rfr — ) = o,

le première nous a fourni l'équation (i), et la seconde, en l'intégrant une fois, donne l'équation (2).

Revenons à l'étude du mouvement relatif du point M,

défini par Téquation (4), qui conduit à une inlégrale abélienne*, on doit toujours avoir

fr% -4- r»î "^ o

•^ 3m(3mr»-i-m'a2) -^^

9 /m* r^ H- 3 m/** {fm' a* — 3 mc^ ) 4- A:* — 3 m/n' a* c' < o,

ce qui exige que les racines en r^ de ce trinôme égalé à zéro ne soient ni imaginaires, ni toutes deux négatives : l'une d'elles au moins est donc positive; soient rj et r\ ces racines et rj > r^, on reconnaît aisément que le point m oscille entre r^ et r^ si ^2 est réel, ou, s'il est imaginaire, entre ± r^. Il est clair que si r^ > a, le mobile s'arrêterait à l'extrémité de la tige dont le mouvement angulaire deviendrait uniforme à partir de cet instant. Enfin, quand ^2 = 0, r pourra croître jusqu'à r« et diminuer ensuite jusqu'à zéro; mais il n'y arrivera qu'après un temps infini,

parce que dt contient - en facteur, ce qui rend infinie l'intégrale qui a zéro pour limite; la courbe décrite est alors une spirale asymptote au pôle.

Appliquant les formules au cas particulier de l'énoncé,

on trouve

A2 = l m «2 wo, c2 = ^^ a2 o)^

et, pour l'équation qui détermine r^ et To,

l'une des racines r^ = a, ainsi qu'on pouvait le prévoir, et l'autre ^2 = — -p*

58. Un prisme de masse donnée M repose^ par une surface plane, sur un plan horizontal, sur lequel il peut glisser sans frottement; dans ce prisme, on a creusé

un cylindre ayant ses génératrices horizontales ; un point matériel pesant de masse donnée m glisse sans frottement sur la section médiane de ce cylindre. On suppose que les vitesses initiales du prisme et du point matériel sont nulles. Trouver le mouvement de ce système.

On appliquera les formules au cas où la section droite du prisme est une cycloïde à base horizontale, convexe vers le bas, et Von supposera que le point m a été placé au commencement^ au point le plus élevé de la cycloïde. On effectuera le calcul en supposant que la masse m est très petite par rapport à M. et négligeant

les puissances du rapport -^ supérieures à la première,

(Paris, novembre 187 1.)

Nous rapporterons la position relative du point m k un système d'axes, Tun Ox horizontal, Taulre Oy dans le sens de la verticale, Torigine O étant le point de départ; les coordonnées relatives de ce point sont liées par l'équalion du canal f{x^ y) = o. Soit d'ailleurs x^ le déplacement du point O du prisme au bout du temps t, les coordonnées absolues de m sont x -\- x^ et^, et celles du centre de gravité du prisme ^r^ + Xq et Yq.

Cela posé, le système du prisme et du point m n'est soumis qu'à des forces verticales et, comme les vitesses initiales sont nulles, le centre de gravité doit rester sur une verticale, ce qui donne

^ const. =

(1) Mxx->r m{x -{- Xi)=0.

Le théorème des forces vives fournira la seconde équation nécessaire pour la détermination des deux seules in-

connues x et x^ du problème

fil* remplaçant dans cette équation --—- par sa valeur obtenue

en différentiant Téquation (i), on a une relation différentielle entre x^ y et t^

IVl dx'^ dy^ __ ^^^ M-\-m'dF'^ dt^ ~'^^^'

Quand la section est cycloïdale, on peut écrire X = a(u — sinu)j y = a{i — cosm); et, si Ton pose m = Me, l'équation (2) devient

■^-j--^(i — cosa)2H- sin2a I -^ = 2^(1— cosm), d'où

(3) dti/ ^ =zhdui/ i sin2|M.

On est conduit à effectuer une intégrale elliptique de seconde espèce; mais la forme de l'équation montre que u qui croît d'abord ira jusqu'à 2 7t; comme il ne peut dépasser cette limite si le canal est formé d'une seule branche de cjcloïde, u décroîtra ensuite jusqu'à zéro; la durée de ces oscillations est d'ailleurs constante.

Les coordonnées absolues de m sont

a? -h a?! = ^ I \x= ( w — sin a), j = a(i — cos a);

la trajectoire absolue se déduit de la cycloïde donnée en réduisant les abscisses dans le rapport de 1 à i -{- s. Le prisme a un mouvement oscillatoire en arrière, avec une

amplitude égale à -

iTzaz

La pression exercée par m sur le prisme s'obtienl en écrivant que c'est elle qui produit le mouvement horizontal du prisme. Comme elle fait avec la partie positive de l'axe des x l'angle tc — ^ w, on aura

, ^, d'^xx ni (Px

— N cos J a = M -^-r- — =— -

ma r, . d^u rfa'l

mais l'équation (3) peut s'écrire

1 du'^

H-£ dt* a(n-£cos*^w)

a d^u gt sin j u cos -J- u H- £ dt^ ~ a(i-h £COs' J a)'*

Substituant dans N et réduisant, on trouve une valeur essentiellement positive

,,^ -. 2 -f- £ -+- £ cos' 1 a . I

(4) ^ = mg- ; s\n- u-

^ ^ ° (H- £ cos'-J- a)2 2

Quand on néglige le carré de e, l'équation (3) devient intégrable,

dti/^ = duii — ^tsin^^u),

(5) ti/^ =u—---^-sinu.

Le temps d'une demi-oscillation est au ( i — yj l/ — •

Appliquant la série de Lagrange à l'équation (5), on a, avec la même approximation que précédemment,

(6) „=(.+ î),^||sinyf.

On peut regarder cette équation comme exprimant la loi du mouvement.

59. Étant donnés un cône circulaire droit dont Vaxe est vertical et dirigé de bas en haut, et une poulie homogène, de masse et de rayon connus, située dans un plan méridien du cône et tournant autour dUin axe perpendiculaire à ce plan, un fil flexible et inextensible est enroulé sur la poulie; un des brins du fil passe dans une ouverture infiniment petite pratiquée au sommet du cône et à son extrémité est attaché un point pesant de masse m assujetti à glisser sans frottement sur la surface du cône; Vautre brin descend suivant la verticale et porte à son extrémité un point pesant de masse m'. Trouver le mouvement de ce système en supposant que la vitesse initiale du point m soit horizon-^ taie et celle du point m' nulle.

On néglige le poids du fil.

(École Normale, juillet 1872.)

Soient {fig, 21)

Fig. 21.

rri^

a le demi-angle au sommet du cône; r la distance Om;

9 Tangle dont a tourné le plan méridien qui contient celle droite;

DYNAMIQl'E DES SYSTÈMES. 297

[x la masse de la poulie ;

a son rayon ;

1 son moment d'inertie autour de son axe.

L'application des équations de Lagrange conduit aux formules

-, ,dr^ [dr^ ,6^02 . \ dt^ ,

ou, en remarquant que

(ji [xa^

f p^2TZ?dp -^—r

et posant m + /7i'+ -=M,

dr^ db^

Su = ^(/ncosa — m') 8r = gmi 8r; — =/nr>0 sin^a, -^=0, 6 = 0,

2p=Mr', ^ = mrÔ'»sin2a, R = ^m.

On en déduit

d dT

dt d^' ~ ^

(i) r2 — sm^a = const. = Tof'o sina,

équation à laquelle on aurait été conduit immédiatement en remarquant que, les trois forces auxquelles est soumis le point m, la pesanteur, la réaction du cône et la traction du fil étant dans le plan méridien, le théorème des aires est applicable au mouvement de la projection de m sur un plan horizontal.

On a encore

ou, en intégrant après avoir éliminé -j->

(3) M ^ H -^ — 2^/?iir = const. = mt;J— a^miTo;

c'est l'équalion des forces vives appliquée à tout le système.

On a, en définitive,

zb. dt = /M — 1

v/(r — ro)[2^/nir2H-mpJ(rH-ro)]

roVo\/M dr

sma ^ ^^^ ^^) [a^/ni r^-t- mpj (r -f- r©)]

ce sont des intégrales elliptiques de deuxième et de troisième espèce.

Les circonstances du mouvement dépendent du sign^ de mi = m cosa — m'.

I** mj < o. — Les racines de la quantité entre crocheta sous le radical sont réelles et de signes contraires; si r» est la racine positive, r varie entre Tq et r<, et le point nmtouche alternativement les parallèles correspondants. Ce^ deux parallèles se confondent et le mouvement de m est^ uniforme si gnii r^ -\- m^i ■=. o.

Ce cas comprend celui où le point m se meut sur ui» plan horizontal.

2** /?î,>o. — La quantité entre crochets est positive pour toute valeur positive de r : donc r, qui doit toujours être supérieur à Tq, grandit indéfiniment, mais cela exige un temps infini. Au contraire, la valeur correspondante 84 de 9 est finie, le coefficient de dr dans l'expression de rf9

ayant un dénominateur de Tordre de H ; la trajectoire est

asymptotique à la génératrice B^ du cône, ainsi qu^il est aisé de le vérifier en cherchant la sous-tangente polaire de la projection horizontale de'Ja trajectoire.

3® nii = o, — Les équations (4) deviennent intégrables; on trouve

Vu'"

cos ( 4 / VT sina

La projection horizontale de la trajectoire se déduit de la ligne droite en augmentant les angles polaires de ses divers points dans un rapport constant; il Y a une asymptote

2 sina y m

située à la distance po= r^ sina du pôle.

On a encore

Vq y m

il faut un temps infini à m pour parcourir sa trajectoire qui, dans ce cas comme dans le précédent, se trouvera limitée en fait par la longueur du fil.

60. Deux points matériels de masse m. et m'y réunis par un Jil flexible et inextensible qui traverse un anneau infiniment petit O, sont assujettis à se mouvoir dans un plan qui passe par O; le point m est sollicité par une force dirigée vers O et qui varie en raison inverse du carré de sa distance à ce point; déterminer le mouvement du système en négligeant la masse dufiL

On examinera, en particulier, le cas où la vitesse initiale du point m' est dirigée suivant la droite qui joint la position initiale au point fixe O.

(Paris, novembre 1873.)

300 DEUXIÈMK PàRTIK. — CHAPITRE VI.

Soient r et /•' les dislances Om, 0/n'; 6 et 0' les angles de ces droites avec un axe fixe; le théorème des aires s'applique au mouvement de chaque point

"^ dt"""' '^ dt' "'''

relations auxquelles il faut joindre r H-r'= /; elles montrent que les vitesses angulaires varient en sens inverse l'une de l'autre : chacune d'elles conserve, d'ailleurs, son sens primitif.

L'équation des forces vives appliquée à tout le système fournit la quatrième équation du mouvement

si l'on y remplace les vitesses par leurs expressions en coordonnées polaires, et qu'on élimine les vitesses angulaires et r' à l'aide des trois premières équations, on obtient

\r^{l — ry-\-2 ii.mr{ l — r)'^—mc^{l — ry~ m'c'^ r^

équation dans laquelle

A = mvl -h m v} •

Considérons le polynôme du quatrième degré

il est nécessairement positif pour r = Pq, tandis qu'il est négatif pour r égal à zéro ou à /: il a donc au moins deux racines comprises dans cet intervalle. Si A^o, les deux autres racines sont également réelles, l'une est négative et l'autre supérieure à /. Si A< o, ces racines peuvent être imaginaires; mais, si elles sont réelles, elles sont toutes

DTXAMIQCB DBS STSTfeMBS. 3oi

deux dans l'un des quatre intervalles séparés par

et il pourra y avoir trois racines, soit entre o et Tq, soit entre r© et /; quoi qu'il en soit, r oscillera toujours entre les deux racines séparées par Tq, et il ira de l'une à l'autre de ces valeurs a et p, dans un temps constant. La trajectoire de m sera formée d'arcs égaux compris entre les cercles de rayons a et p, qu'elle touche alternativement; celle de m! a une forme analogue entre les cercles de rayons / — a et / — p. Pour que a = p, il faut que leur

valeur commune soit To, ce qui exige (-77) =0, ou qu'à

l'instant initial la vitesse de m et, par suite, celle de /?*'

f soient perpendiculaires au rayon vecteur correspondant, et

qu'en outre r^=:^rQ annule la dérivée de l'équation P = o;

cette dernière condition, en tenant compte de la première,

-j7^) = o, ou

que l'on peut encore écrire

puisque alors

Quand ces conditions sont satisfaites^ les deux points se meuvent uniformément sur deux cercles.

Dans le cas particulier proposé, c'= o, Q'= const. :

m r dr k

Jd = — )

-^^ V^Br2+2(Jir — c>

m-\- m à/Rr'j-i- 011 »« t>\ m

m cdr

m -h m /YBr>H-2jj.r

Téqualion de la trajectoire de m est

Cette courbe a pour rayons vecteurs ceux d'une conique ayant son foyer au pôle, les angles polaires de tous les points étant augmentés dans le rapport de y//?i + ni' à y/m. 0^ trouvera la position de m en fonction du temps de Iç même façon que pour le mouvement des planètes; soxi mouvement sur sa trajectoire est d'ailleurs suffisammei:!! défini par la loi des aires.

61. Trouver le mouvement de deux points matériels pesants qui s^ attirent proportionnellement à leur distance et qui sont assujettis à se mouvoir sans frottement, le premier sur une droite verticale donnée, le second sur un plan donné oblique à l'horizon.

On examinera en particulier les circonstances du mouvement dans les hypothèses suivantes :

i" Les deux points matériels ont des masses égales;

2® Leur position initiale est celle où ils resteraient en équilibre si leurs vitesses étaient nulles;

Z^ Les projections de la vitesse initiale du second point sur Vhorizontale et sur la, ligne de plus granit pente du plan sont égales chacune à la vitesse initiale du prem ier poin t ;

4" Le plan donné fait avec l'horizon un angle, dont

le sinus est égal à |.

(École Normale, juillet 1874.)

Nous prendrons pour origine le point O de rencontre du plan dans lequel se meut le point M et de la verticale que parcourt le point M', pour axes des x et des y la ligne de plus grande pente et l'horizontale du plan passant enO;

DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. 3o3

enfin soient 0M'= r et a l'angle du plan avec la verticale. Les équations du mouvement de ces points s'écrivent immédiatement, si Ton remarque que les composantes de MM' parallèles aux trois axes coordonnés sont respectivement rcos a — x^ — y et rsina; elles donnent

1 -T-^ =ig-\rfm[ — (rcosa — j:)cosa — rsin*a] (i) ) =^-h//?i(arcosa — r),

f -^ =gcos^-h/m(rcost — x), ^ = — /my.

Ces équations montrent que le mouvement de la projection du point M sur l'axe des y est celui d'un mobile attiré par le point O proportionnellement à la distance;

on a

(a) 7= X cos t \//m' -\- B s\a t \//mf ',

^équation qui donne r s'obtient par l'élimination de x 6Dtre les deux premières équations générales du mouvement

I ^ ^f(m-\-m')-^ -+-/2mm'rsin2a =/^(m'^- m cos2a),

d'où

/ r = Cl cos A:^ H- c% ?>\nkt

(3) . , ^ . , ^ g(m' -^ mcos^T.) -i-Ca cosAti^-HCv sinA:i/-H 2-i ,__ i-

^ s'en déduit aisément

(x=z — (fm — k^)(ci coskt -h Ci smAï) fm cos a L^*'

(//n — Â:J)(C3 coskit-\'C!,s\nkit)-h g' ^ col'a

Introduisons les hypothèses de l'énoncé dans les équations (i) : ce sera plus simple que de les introduire dans

3o4 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPrTRE TI.

ces équations intégrées ; faisant m=^m! eX, posant jT/n = [jl^, elles deviennent

=^H-|j.2(a?cosa-r), {ibis) { --j-j = ^cosa-h {x2(rcosa — a?),

En vertu de la seconde hypothèse, les coordonnées initiales satisfont aux équations (i 6w), dans lesquelles on ferait les accélérations nulles,

Ig -i- (x*(a7o cosa — r^) = o, ^cosa-h [JL*(ro cosa — a?o) = o, 7o=o;

d'où

^(i-H cos^a) 2>ç'cosa

Posons

et retranchons les équations (5) des équations (ibis), il vient

df^

- = |x2(Xcosa— R),

^=.|x2(Rcosa-X), j

remplaçant enfin les deux premières équations par les suivantes,

f^(^)=,..(,eosoc)(R + X), dHR — X)

= — {jL2(n-cosa)(R — X),

DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. 3o5

on a un système de trois équations qui s'intègrent séparément.

D'après la troisième condition, les dérivées de X, Y et R ont, à rinstant initial, la valeur commune c; tenant compte enfin de

Xo = Yo = Ro = o, cosa = J, on trouve que les intégrales générales se réduisent ainsi •

R -i- X = — sin - UL^, R — X = o, Y = - sin iit.

L'équation delà trajectoire de M s'obtient en éliminant IX t entre les valeurs de X et Y.

[jiîX* = 4c2(X«— Yî).

Prenons des coordonnées polaires avec le point Xq^ j'q = o pour pôle,

4 c* COS2(0

jï —

•j2 cos*aj ^

c'est une courbe du quatrième ordre, qui ressemble à une lemniscate de BernouUi.

62. Trouver le mouvement de deux points matériels, (assujettis à glisser sans frottement sur un cercle horizontal et s^ attirant mutuellement en raison inverse du

^ube de la distance.

(École Normale, juillet 1876.)

Soient

^ et m' les masses des deux poipts ; ^ leur distance ;

'• le rayon du cercle sur lequel ils se meuvent; Q et 6' les angles que font les rayons qui aboutissent en m et m' avec un diamètre fixe du cercle.

ViLLiÉ. — Compositions. qo

3o6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE TI.

Les formules de Lagrange donnent

'^ 8r3sin3l(6 — 6)

le signe à prendre étant celui de sin^(6 — 6');

d'où les équations du mouvement

( î?!^ - t^^ ^^^' cos 1(6 — 90

1 '^ (^^mm^ cos 1(6 — 60 ["^ dt^ ~ %r'* sin3i(6 — 6')*

En combinant ces formules, on arrive aux suivantes :

dH^— 60 ; jL2(mH- mp cos-^(6 — 6^ ^/^^ "■"" 8r* sin3i(6 — 6')*

La première, qui est la dérivée de l'équation des aires, donne

{i) m6 + mW = ct-{-c'\

cette équation montre que, si l'on considère sur la circonférence un point M, tel que, OM faisant avec le diamètre un angle 6, on ait

ce point, qui divisera 9 — 9' en parties inversement proportionnelles aux masses des deux points, se mouvra sur la circonférence d'un mouvement uniforme.

La seconde équation donne la loi du mouvement relatif; si l'on pose 8 — 8' = o>, elle devient, en Tintégranl,

^^ \dt/ \dt/o~~ |4r* Vsin^io) sm«ia)o/

± dt -}—T v^/nH- m' 4r'

{3 bis) ' fdbi \d(asin\<ti