I . v^i — A -T- Acos^ Jo
sin' 1 oj
équation dans laquelle nous avons représenté par A la constante
L'équation (3 bis) est intégrable, et les circonstances que présente le mouvement relatif dépendent de la valeur
de A:
I ° A > I . — Posons alors A = . , , , o < a < - j or, ^ sin2 la 2 ' '
en choisissant convenablement le sens dans lequel on
compte l'angle co, on peut toujours supposer o < Wq <[ t^Î
l'équalion (3 bù) montre alors que o> variera entre ± cl, le
mouvement relatif sera oscillatoire et d'amplitude 2cil<C tz.
Quand les mobiles se rencontrent, leur vitesse relative
-T- passe par l'infini; en vertu de l'équation (2), les vitesses des mobiles sont infinies et de sens contraires. Intégrant l'équation (3 bis)j on a
(5) cos-a,= -^-^— U +e *'^ J,
la constante k devant être changée à chaque passage de la
3o8 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
vitesse par Tinfîni. La durée T d'une demi-oscillation relative est
T= '^^ - [log(v/Âcos|a)-Hv/i — Asin«|a))]^^a>
{jL/A(/n-h/n')
4/-* , i-hv/Â
(6) T = — , log / * ^ ^ {jL/A(/n-+-/n') v^A — I
2° A = I . — La loi du mouvement est donnée par la
formule
, [xy/zn -h m' __ ^ ^w sin J- tu 4 ''^ "" cos J (O
le signe à prendre étant celui de dio tang jo>; on en tire
(7) cos ^ 0) = cos "l tuo e *'* ;
si ( -^ ) >> o, on doit prendre le signe supérieur, o> va
constamment en croissant et n'atteint sa limite supérieure Tz qu'au bout d'un temps infini.
Sif^j < o, comme par hypothèse ~>>Wq>>o, on
devra prendre d'abord le signe inférieur; to décroît et les mobiles se rejoignent au bout du temps
T = — - lor
\i.\/m-hm'. ^cosj.too'
à partir de cet instant, tangua) changeant de signe, le mouvement sera donné par la formule
cos| ix) = e 4/« '
to deviendra égal à — ir dans un temps infini.
3° A< I. — La vitesse angulaire relative ne s'annule jamais, le mouvement est révolutif.
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. SoQ
Soit d'abord A > o ; on a
(8) cos-a) = -^-^-Le *" -« *' J,
les signes supérieurs étant pris quand rfo> sin ^ o> est positif; or, le mouvement étant révolutif, rfo> ne change jamais de signe; on devra donc, dans la formule (8), changer de signe et de constante k à chaque rencontre.
L'intervalle qui sépare deux rencontres consécutives est
(9) T= ,,,-' — lo
{JLV^A(/?H- m') 1 — v^À Pour A = o, on a les formules
(lo) cos j-(o =zf:(^-f- A:) '^^ > T =
4^* jx /m -H m'
Soit enfin A = — B <; o, on obtient
cosia) = ^— g^cosj^ ^^ ^^^^ -'(«-+- A:)J,
(il) < T = arr. sin 4 / -
rB
= arc tangv^B.
|xv/B(/n-H m')
63. Mouvement de deux points matériels de masses m et m'y s^ attirant proportionnellement à la distance et assujettis à se mouvoir sans frottement sur deux cercles concentriques de rayons a et a' situés dans un même plan horizontal. On suppose les deux mobiles en repos à V origine du temps.
Cas des oscillations infiniment petites.
(Paris, novembre 1877.)
Suivant la même marche que dans l'exercice précédent, on a
.T= ^.(g)^.v.(gy.
/ = /a«-+- a'«—2aa' cos( 6 — 6'), 8U = — [JL*m/n' / 8/ = [i^mm'aa' sm(e — 6') (86 — 86');
d'où les équations
ma* -j-y = — [i*mm'aa' sin( 6 — 6'),
f m'a'* —T-^ = {jL*7?i/n'aa'sin(6 — 6'),
que l'on peut remplacer par les suivantes :
La première, en tenant compte des circonstances initiales et choisissant l'axe polaire tel que
ma'^%-h m'a'^% = o,
devient, en intégrant,
(3) ma2 6-i-m'a's6'=o,
formule qui montre que l'axe polaire divise l'angle des rayons vecteurs des mobiles en parties inversement proportionnelles à leurs moments d'inertie par rapport au centre commun des deux cercles. La seconde nous donne
(4) (777) = 2A:2(jL2(costo — coswo),
si l'on pose, pour simplifier,
, ^ ma^ -+- m' a'^
aa
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. 3ll
elle prouve que le mouvement angulaire relatif est celui
d'un pendule simple de longueur h = -r^—^7 abandonné
sans \dtesse initiale.
Dans le cas des oscillations inûniment petites, la seconde des formules (2) peut s'écrire
d'où
6 — e'=(6o— 6'o)cos(jlA7,
ce qui donne finalement
l 6 = ÔqCOSjjlA:/,
^^^ I e' = e'ocos|x;t^;
chaque mobile oscille comme un pendule simple de longueur L.
64. Un tube circulaire, infiniment petit, peut tourner librement autour de l'un de ses diamètres qui est fixe; dans V intérieur du tube peut se mouvoir sans frottement un point matériel.
Déterminer le mouvement de ce système en supposant que les seules forces qui agissent sur le tube et sur le point soient leurs réactions normales mutuelles.
On donne le rayon r du cercle, le moment d'inertie A du tube par rapport à V axe fixe et la masse m du point mobile.
(Paris, juillet 1880, i"* question.)
L'axe de rotation étant pris pour axe polaire, soient ^ Tazimut et 6 Tangle polaire du point mobile. Aucune force extérieure autre que les réactions de Taxe fixe n'agissant sur le système, le théorème des aires donne
(i) (A-4-/nr«sinî6)^ = c,
3l4 DEUXIÈME PARTIE. — CUAPITRE VI.
et par suite M = am, mi = — a/nsin^ -, on a
r dr
±Ldt =
v/^i/(r— ro) [A(r-+- ro)— 2r2 sin* ^1
sin
r4/(r — To) A(r-+- Tq) — ar^sin* -
le mobile M oscille entre les parallèles
A2-4-8Arosin« - /'o et ri
4 sin» -
Le résultat de la substitution de r^^r^ dans le trinôme /i(r-l-/o) — ar^sin^- étant 2ro (/t — Tq sin^ - j, il en résulte que /^i^^o, suivant que
A — To sin2 - ^ o ;
si cette quantité est nulle, le point M décrit un parallèle; la tension du fil reste alors constante et égale à mg. Dans le cas particulier de l'énoncé, on a Ti = aro»
66. On considère deux points matériels M, M' de masses m et m' ^ que Von suppose non pesants. L'un d'eux M est assujetti à demeurer sur un plan P; Vautre à demeurer sur une droite Oz, perpendiculaire au plan P. De plus, ces deux points sont reliés par un fil tendu MOM' de longueur /, qui passe par une petite ouverture pratiquée en O dans le plan P.
On demande de déterminer le mouvement de ces deux points, en supposant qu'ils se repoussent proportionnellement à la distance, la répulsion mutuelle à la
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. 3l5
distance i étant \k. On négligera le frottement, et Von représentera par r^ la distance du point O à la position initiale de M, par Vq la vitesse initiale de M, qui sera supposée perpendiculaire à OMq.
(Paris, novembre 1881, i"* question.) Soient
z l'ordonnée du point M' ; r la distance OM^
6 l'angle de cette droite avec une droite fixe Oxj tracée dans le plan P.
On a
Les forces qui agissent sur le point M sont la réaction du plan P, la tension du fil et la répulsion exercée par M';. ces trois forces étant le plan passant par Oz et le point M, le théorème des aires est applicable,
Le principe des forces vives fournit la troisième équation du mouvement
(3) m 2^^ v-m'-^j^ — mvl = ij |xRû?R= |x(R* — RJ)^
R étant la distance MM' ; cette équation peut s'écrire
^pî, p^ pi
(m-\-m)-^ -hmvl ^ ^^ = 'i^{r — ro){r — Zq),
d'où les formules
v//n -h m' r dr
±dt =
^^Q ym -f- m' Tq Pq dr .
r\/{r—ro)[2\t.r^{r — Zo)-i-mvl(r-\-rçt)]
3l6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE YI.
on ramène la première aux fonctions elliptiques de première et de seconde espèce, en posant r — Tq = - • Soit le polynôme
l'équation qu'on obtient en l'égalant à zéro a toujours une racine négative , et comme sa transformée en — r n'a qu'une variation, les deux autres, si elles sont réelles, sont positives ; de plus, cette équation n'a aucune racine supérieure à ^01 puisque, pour r^Sn? P>o. Les circonstances du mouvement dépendent du signe du résultat de la substitution de r= To dans le polynôme P,
r* Po<Co. — L'équation P=o a deux racines positives Ti et r2, séparées parr©,
o < ri < To < r, < ^0»
le point M oscille entre deux circonférences de rayons Tq et 7*4 .
2° Po>>o. — Les deux racines ri et Ta, si elles sont réelles, sont toutes deux inférieures ou supérieures à r^. Pour reconnaître si r doit commencer par croître, puisque
or
d'où
(5) (,« + ;„')(SfX=^>o;
il en résulte que, si les racines i\ et ^2 sont réelles et inférieures à /'o ou imaginaires, r ira constamment en croissant de Tq à /, limite imposée par la longueur du fil. Enfin r oscillera entre Tq et la plus petite des deux ra-
clnes si celles-ci sont supérieures à Aq- Toutefois, dans le cas où elles seraient égales, le rayon vecteur n^atteindrait sa valeur maximum qu^après un temps infini. Il y aurait lieu de faire la même restriction pour les exercices n°* 37 (3«)et60(2«).
3** Po = o. — La vitesse et 1 ^accélération radiales -/•
cit
et -T-j- étant nulles à Tinstant initial, le problème admet
la solution singulière r = consl. = Tq. En effet, si le point
M décrit une circonférence, le point M' reste en repos; la
tension du fil est donc
T= ^Zq,
et l'équation du mouvement de M est
— ^ =— (a/'o-hT = [i.(5o— z'o):
le mouvement prévu est donc possible.
Il est aisé de reconnaître que ce mouvement est seul admissible ; car, si Ton prend la première des équations (4), elle devient
(6) ±rf, = ./^L±L^ '-^r --- ,
et elle montre que /', partant de Tq, ne peut varier d'une quantité infiniment petite e qu'au bout d'un temps infini, le degré d'infinltude de la fonction à intégrer étant égal à I pour r = ro-\- t.
Cette importante remarque s'applique aux cas analogues des exercices précédents, dans lesquels la trajectoire, ou sa projection, est la limite d'une courbe festonnée, comprise entre deux cercles concentriques, dont les rayons tendent vers une valeur commune.
3l8 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
67. Deux points matériels M et W de masses m, et ni sont fixés aux extrémités d'un fil flexible et inextensible de longueur l, qui passe sur une très petite poulie O. Le point M est -soumis à une force répulsive émanant du point O, inversement proportionnelle au carré de la distance OM et dirigée constamment suivant OM. Le point W est assujetti à se mouvoir sans frottement sur une courbe plane donnée C, dont le plan passe par le point O.
Etudier le mouvement des points M et M'. On représentera par ^^m la force répulsive à l'unité de distance; on prendra l'équation de la courbe G en coordonnées polaires sous la forme 6'=/(r'), r^ désignant la distance OM'. On supposera nulle la vitesse initiale de M'; celle de M sera supposée dirigée dans le plan de la courbe C, perpendiculairement au rayon vecteur initial, et sa grandeur sera représentée par 1/t» ^ étant
donné.
On ram^ènera le problème aux quadratures.
Trouver V équation de la trajectoire du point M,
lorsque la courbe C est une spirale logarithm^ique ayant
O pour pôle.
(École Normale, juillet 1882, i" question.)
Appliquant le théorème des aires au point M et le principe des forces vives à tout le système, on a les équations
Or
dt^ ^ kr'^ dt^ ^ dt^ dt^^^^ J ^^^^'
DTNAKIQDB DBS 8TSTÈXES. SlQ
d'où la relation entre r et f
Enfin la trajectoire de M a pour équation diiTérentielle
Le trinôme (t + — jr^ — /* — ^ doit être constam-
ment positif; or ses racines sont Fq et /'i =: — 7 — ^ — : r ne
peut donc être inférieur à Tq et commence par croître; il en résulte que / décroît et que le point M' se meut sur la courbe dans le sens vers lequel r' diminue jusqu'à ce que
dr' r devienne minimum. A cet instant -j^ = o ?/'(/'') = x> :
dr donc -7- passe par z^ro et r commence à décroître ; il n'en
est pas de même de -j- =/'(/) -j-> qui prend alors la valeur
/d^'y \xm /r j l jji
\~dt ) ~ m'r'i \k ~^ Tq r~ kr^
différente de zéro. 9' continue donc à varier dans le même sens, jusqu'à ce que M' atteigne un point de la courbe C pour lequel on ait encore r'= r'^,, et ce mobile oscille sur la courbe C entre ce point et sa situation initiale. Si r^ n'admet pas de minimum, le mouvement de M' est révolutif; celui de M l'est dans tous les cas. Enfin, dans le cas où v'q serait maximum, le sens du mouvement initial de M' serait indéterminé et il en serait de même à chaque passage par la position initiale.
Soit, pour la courbe C, la spirale logarithmique, d'où l'équation difTérentielle de la trajectoire de M
qui donne, en l'intégrant et faisant passer l'axe polaire par la position initiale de M,
ro k / k \ e
cos
Cette courbe, indépendante de la longueur du fil, admet les mêmes rayons vecteurs que l'hyperbole
il) — = !- ( IH ) COSO),
r ivq \ 2/'o/
pour des angles 9 qui sont à w dans le rapport constant
4 / I H ~\^~^ i)' niais il n'y a qu'une portion de la
branche gauche de cette courbe qui convienne : c'est celle qui correspond aux valeurs de 9 comprises entre zéro et 8, répondant ix r = L Pour /•= /, le point M' est arrivé au pôle, 0^ = — 00 , dans un temps fini, ce qui s'explique
en remarquant que-^î nul à l'origine du mouvement, tend vers — 00 en même temps que 8'.
68. Un point pesant M de masse m {Jig' 22) est assujetti à rester sur une circonférence verticale C. Ce point est à V extrémité dhin fil qui passe dans un anneau infiniment mince A situé au point le plus haut de la circonférence G et qui vient ensuite s^ enrouler sur la
grande roue d^un treuil T, Le Jil enroulé sur la petite roue de ce treuil porte à son extrémité un point pesant M' de masse m'.
On demande de déterminer le mouvement de ce système. Après avoir traité la question d^une manière générale) on examinera particulièrement le cas où la vitesse initiale de M serait nulle.
Nota. — On désignera par R le rayon de cercle C, par retr^ les rayons de la grande et de la petite roue du treuil; soit de plus MR^ le moment d'inertie du treuil par rapport à son axe,
(Paris, octobre 1882, i*"" question.)
Soit o> l'angle dont a tourné le treuil pour un angle
Fig. 22.
ACM = 9, parcouru par le point M; si Ton compte cet angle 6 dans le même sens que o> et de o à 27r seulement,
on aura
^ . 6 dia R d^ e ra) = 5tRsin-> -77 = — -77 cos - • '2 dt r dt 2
Le système étant à liaisons complètes, le principe des forces vives suffit pour déterminer le mouvement. La force VaLiÊ. — Compositions, 21
vive du système est à un instant t
= (S)' [mR2+ (mV'2+ MKî) ^ C0S2 ^] ;
le travail des forces, non compris les liaisons dont le travail est nul, a pour expression
const. — gm R cos 6 — gm' r' tu ;.-^R(i d'où Téquation
r' 6 = const. — ffK ( m cos 6 -+- 2m' — sin - )>
m'r' . 60^ — sm — j, r 2
= A — ig [m cosO -h 2 sm - j;
l'étude du mouvement est ramenée à une quadrature abélienne.
Si la vitesse initiale de M et par suite du système est nulle,
A = ig y m cosOo-H 2
et l'équation du mouvement devient ,-,/d^Y/ /?iV'2-4-MK2 0\
= ig ^m ^sm2 - - sin2 - j - -^ (sm - - sm -j J .
Le second membre de cette équation, égalé à zéro,
admet la racine sin — : soit a l'autre racine
a = sm — J
mr 2
le mouvement dépend de la grandeur de a.
i" a <C sîn — • — Le point M oscille sur la partie inférieure du cercle entre Mq et son symétrique M| par rapport au diamètre vertical AC.
2° a >> sin — • — Il y a encore mouvement oscillatoire
entre Mo et Mj, mais il se produit sur la partie supérieure de la circonférence.
3° a = sin — • — Cette condition équivaut à la relation
2 sin — = -
2 inr
or le travail élémentaire a pour expression
£'K nos - ( 2m sin ) aO :
donc il est nul à Tinstant initial et le système est en équilibre.
Reprenons la discussion dans le cas général où la vitesse initiale de M est quelconque; Téquation du mouvement peut s'écrire
^\dt) r-^ — 1^^ — ^^^^2
= 2 j?' ( 2/n sin2 2 sm — ! /ni.
\ 2 r 2 ig I
Le second membre de cette équation est un trinôme en sin - dont les racines peuvent être imaginaires ou réelles;
si elles sont réelles, sin — est en dehors des racines, et
comme leur somme est positive, la plus rapprochée a de sin— est positive; on peut donc distinguer les cas suivants :
I** Les racines sont imaginaires, — -77 ne s'annule
^ dt
jamais et le mouvement de M est révolutif.
2** a^sin — . — M oscille sur la partie inférieure de la circonférence entre les deux points situés sur une horizontale 9| donnée par a = sin — •
3** sin — << a <! I . — Mouvement oscillatoire de M vers '1
le haut de la circonférence.
Toutefois, dans ce cas comme dans le précédent, si les deux racines sont égales, le point 6| ou 2iz — 6^, suivant le sens de la vitesse initiale, n'est atteint qu'au bout d'un temps infini.
4" a= i. — On a
lïL dt
ou, en posant sin - ^a;,
/ ,7lV2-f-MK2,
dxK/ w H 5 {\ — x^)
et sous cette forme on reconnaît que ce n'est qu'après un temps infini que le mobile M atteint le point le plus bas de la circonférence, où il arriverait sans vitesse dans une position d'équilibre instable.
5° a>i. — Le mouvement est révolutif.
69. Trois points matériels M, M', M'', non pesants, de niasses m, m , ni!'^ assujettis à se mouvoir dans un plan, s^ attirent mutuellement proportionnellement aux masses et à la distance :
1° On demande de déterminer leur mouvement ; on prendra pour origine la position initiale Gq du centre
de gravité des trois points, et l'on exprimera les coordonnées des trois points en fonction du temps et des données qui font connaître les positions et les vitesses initiales des trois points ;
2° En supposant les vitesses initiales perpendiculaires respectivement aux rayons vecteurs aboutissant au point Go, et supposant, en outre, m := m' ^= m'\ on demande quelles relations doivent exister entre les positions et les vitesses initiales, pour que les trajectoires des trois points soient trois ellipses égales entre elles,
(École Normale, juillet i883, i" question.)
Le centre de gravité se meut d'un mouvement rectlligne et uniforme, et le mouvement du point M projeté sur un axe CfX en translation avec le centre de gravité satisfait à l'équation
m —j^ — ]xmm'{x' — x^ -\- \i.mm''{x'' — x)
ou, en remarquant que
mx -h m'x'-^ m^x" = o
et posant m + m' + m" = M ,
le mouvement relatii est donc celui d'un point sollicité vers l'origine par une force proportionnelle à la distance, et les trajectoires relatives sont des ellipses ayant leur centre au centre de gravité du système.
Les formules qui donnent le mouvement relatif de l'un de ces points sont
X = Xq cos t v/m.M -\ — -^^- sin t fÛM, y = yo cos t /[xM -H -j=ê= sin t /|aM.
Si la vitesse initiale relative i^o est perpendiculaire au rayon vecteur rn, les axes de Tellipse sont Fq et —^^7 et,
pour que les trois ellipses décrites soient égales, il faut que l'on ait
ou bien
To = r'o = ri avec Vq = v'q = ^l ,
ro = r'o = —A=z et i^o = ^'o = r"o /[^M.
Dans le premier cas, les positions initiales des trois points sont sur une même circonférence, et, pour que leur centre de gravité soit àTorigine, il faut, puisqu'ils ont des masses égales, qu'ils occupent les sommets d'un triangle équilatéral^ de plus, leurs vitesses initiales tangentes à la circonférence doivent être dirigées dans le même sens.
Quant au second cas, pour qu'il soit réalisable, il faut
que l'on ait
2 To cos a — Tq, 2 t-'o cos a = i^'J, ,
a désignant l'angle de GM avec M''G ; or cette double condition, jointe aux précédentes, entraîne r"^^z= r^, et les ellipses deviennent une même circonférence ; on n'a donc là qu'un cas particulier du précédent.
70. Une barre pesante et homogène AB est fixée par une de ses extrémités A, et elle peut tourner librement dans V espace autour de ce point. Un fil fixé à V extrémité B vient passer dans un anneau infiniment mince O, situé sur la verticale de A, au-dessus de ce point et à une distance égale à la longueur AB de la barre; il retombe ensuite suivant la verticale OA, portant à son extrémité G un point de masse m.
On demande de trouver le mouvement de la barre en Jaisant abstraction de la masse du fil.
(Paris, novembre i883, T® question.)
Soient 2 / la longueur de la barre et M sa masse.
Appliquant à la barre le principe des aires projetées sur un plan horizontal, on a, en appelant Tangle de AB avec la verticale ascendante et <}/ son azimut^
2 ar* sin*0 -71- = ^î-— — sin'O -r- = const.
ou
^ ^ dt '
le mouvement azimutal de la tige est révolu lif.
Le théorème des forces vives fournit la seconde équation du mouvement. On a
OB = 4 / sin -, rf ÂG = — e^ OB = — 2 / cos - ^ ; •À 2
Texpression du travail est donc
4 mgl sin M^/ cos6 + const.
et celle de la puissance vive du système d'où l'équation
i(S)XT-*-'"*=°^'i)
« ;— r^ 4- -^ ( A: — 4msin Mcos6).
3sin*0 2/\ 2 /
Le second membre de cette équation est négatif pour 6 voisin de zéro ou de tt, tandis qu'il doit être positif pour 8 == 60 ; or on peut le mettre sous forme de quotient par
sin^O d'un polynôme du sixième degré en sin- : ce polynôme aura donc deux racines réelles, positives, inférieures
^ ' ^ Me»
à Tunité sîn— et sin — ? séparées par sin —• Il en résulte
que Textrémité B de la tige oscillera entre les parallèles 6| et 62 parfaitement déterminés, puisqu'ils sont définis par
les sinus des anerles ~ et — •
Si la vitesse initiale de l'extrémité B est dans le plan azimutal Oo, le mouvement a Heu dans ce plan : on ac = o et l'équation (2) est de même forme que celle du n° 68; elle donne lieu à une discussion identique.
71. Deux barres homogènes pesantes AB, A'B' de même longueur ^a et de m,ême masse M sont reliées Vune à Vautre par deux tiges AA!^ BB' rigides, inextensibles et sans masse, de même longueur l. La barre supérieure AB est mobile autour de son milieu O qui est fixe, et le système tout entier est assujetti à se mouvoir dans un plan vertical invariable xOy. Etudier le mouvement de ce système.
Nota. — On désignera par M k- le moment d^ inertie de chaque barre par rapport à son milieu, par 6 V angle que fait la verticale Oy avec la droite 00' qui joint les milieux des deux barres, et par ^ V angle que fait la droite OA avec Vhorizontale Ox.
(Paris, juillet 1884, i""® question.)
Appliquons les formules de Lagrange.
Le travail élémentaire 8U est celui de la pesanteur appliquée au point C, milieu de 00' et centre de gravité du
système
8U= — M^ZsinOSe.
La force vive de AB est MA-^ ^; celle de A'B' est égale
à sa force vive MA'^ -^ relativement à des axes en translation avec son centre de gravité O', augmentée de la force
//As
viveM/2 du point O', auquel on aurait transporté
toute la masse de la barre.
On a donc
d'où les deux équations du mouvement
aJVlA-î-^ = o, -,' = const.
La première montre que le mouvement de rotation de la barre AB s'effectue avec une vitesse angulaire constante; la seconde n'est autre que l'équation du mouvement d'un pendule simple, de longueur /.
72. Déterminer la figure d'^ équilibre d'un fil homogène fixé en deux de ses points A et B, et attiré par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.
(Besançon, juillet 1880.)
Soit plus généralement R =f(^r) l'expression de la force attractive; les équations de l'équilibre sont, en appelant T la tension du fil au point m(x, y^z),
d.T^ — R-ds=o, ds r
(1) { d.T-]^ —K^ds = o,
^ ds r
ds r
33o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
Démontrons d'abord que la courbe A m B est plane. En combinant deux à deux les équations précédentes pour éliminer les seconds termes, on a
:.d.1%-yd.1%=o ou d.l(.%-y
ds
, rr^Z , dx
xd,T-z zd,T—r- = o ou
ds ds
( dz dx\
«t, en intégrant,
T{x dy — y dx) = c ds,
T(xdz — z dx)= Cids.
Divisant ces équations membre à membre et intégrant
deux fois, on a
cz = Ciy -+- kxy
équation d'un plan passant par le centre d'attraction. Prenant ce plan pour plan des xy, nous ne conserverons que les deux premières équations (i), que nous remplacerons par les suivantes :
dT=Rdr ou
<3) T = c'-hfRdr.
Eliminant ï entre (2) et (3), on a l'équation différentielle de la figure d'équilibre en coordonnées polaires
rs/r^(c'-k-SKdrY — c^
Le rayon de courbure p d'une courbe plane a pour expression
r dr
^ = -df'
DYNAMIQUE DBS SYSTÈMES. 33 1
or Téquation (a), qui exprime que le inoment de la tension est constant, peut s'écrire
, ,c cHffr
dp = d=, = — — T
T {c'i-J'Wdr)^
et, par suite,
Telle est l'expression du rayon de courbure en fonction du rayon vecteur.
Dans le cas particulier de l'énoncé,
R=Ji, /Rrfr = — ^, r* r
l'équation (4) devient
^ dzcdr z— r dz
eu posant - =z z. L'intégrale prend des formes différentes suivant le signe de [jl^ — c-. Soit, par exemple,
|a2— cî = — /i2;
on trouve
— — 1 V^/l*-H 0.2 COS (
Pour déterminer les trois constantes /i, c' et a, on a les conditions que le fil passe par les points donnés A et B, et qu'il ait une longueur donnée; si ces conditions ne fournissent pas des valeurs réelles pour les constantes, on en conclura que la forme adoptée a priori pour l'intégrale
n'est pas admissible, et Ton recommencera le calcul ea \ partant d'une autre forme.
En général, la courbe est rectifîable, car on a
= rfr^,
r^d^^ ([x—c'r)dr
as r^à / . ,
ri
d'où
