ay^ = bx{z -i- a

(Toulouse, juillet 1890.)

l4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

Le cône donné a son sommet sur la surface de la sphère, au point z = — a, et il coupe le plan z = a suivant la parabole j^^ — . ^^. les équations de la courbe d'intersection de la sphère et du cône sont, en coordonnées polaires,

p = a, 2 a sinG sin'^1^ = 6 cos<)y(n- COS0),

d'où

tanff - = r-rS" •

^2 2asin2a;

Prenons, comme aire élémentaire <iA, un rectangle curviligne compris entre deux méridiens et deux parallèles de la sphère,

laissant d'abord ^ constant, variera entre zéro et la valeur donnée par l'équation de la courbe d'intersection,

puis on devra ensuite faire varier ^ de à H — > ce qui

donne, en vertu de la symétrie des surfaces par rapport au plan zOx^

— = I (I — cosb)d^ = / cosQd^.

Pour calculer cette dernière intégrale, on a

1 — tan o"* — . ^ '2 4a2sin*iL^,2cos2 6

cos6 = = -. — , . . y — r-f :

i-h tang

d'où, en posant tang'i = /,

/ COS ail = / : rr-r- r-r —r— „ ,, dt

QUADRATURES. l5

et

-hpx^-^q 'X

les racines du dénominateur élanl imaginaires, puisque /> et q sont positifs.

L'intégrale I est égale au produit de iiii par la somme des résidus |jlo et |jL|, relatifs aux deux pôles simples de la fonction à intégrer situés au-dessus de Ox (n° (9S); posant

on a

avec

Cherchons d'abord le signe du produit z^^z^ ; soient

-30 = «0-+- ï'Po» 'Si=aiH-«Pi;

^0-^1 étant réel et [3o ainsi que (3| étant positifs, puisqu'il s'agit des pôles situés au-dessus de Ox^ on a

aoPi-t-aiPo = o, ^ = — ^ <o,

^ ai po ,

d'où

5o^i =aoai— Popi<o, il en résulte Zq^i = — s^q^ et l'on a enfin