On a

sin <iô d^

(A sin2 cos2(}; -H B sin20 sin'^^ 4- G cos26)2

qui devient, en effectuant le changement de variable, tang'0 = <,

d^ /^* dt

(Acos2<^H-Bsin2i|;)2 / /^ G .

8 r' rfi}.

191. On coupe l'angle trièdre Oxyz, les coordonnées étant supposées quelconques, par un plan ABC déterminant sur les axes les longueurs O A = a, OB =: 6, OC = c, et Von imagine le paraboloïde hyperbolique qui admet pour génératrices rectilignes les quatre côtés du quadrilatère gauche OBAC. Calculer le volume limité par ce paraboloïde et les trois plans coordonnés,

(Rennes, novembre 1890.)

La surface passe par les intersections du plan

X y z abc

avec les plans j* = o et 5 = o, et par celles du plan x=^ o avec les deux mêmes plans; son équation a donc la forme

les équations du centre sont

IX y z X ^ X ^

hl-H 1 = 0, r-f-A3 = 0, --\-\y=:0\

abc b c

écrivant que ce point est rejeté à l'infini, on a

oc a oc

d'où Téqualion de la surface

= ex i

a y -\- bx a

Désignant par a l'angle xOy^ par y l'angle de O3 avec le plan des xy, et posant

k = sina siny, le volume cherché a pour expression

\ = k l j zdxdy = -^ j xdr j ( ^ M ^7>

y^ étant déterminé par l'équation

ciy\ -^ bx = ab ;

or

bx

d'oii

. Abc r"" { A 1 ^ \ , kabc V = / x\\o^a — \Q%xA \\dx = .