Intégrer l'équation

x^-j-^ -hî5x^-j-^ 4-6oa7-7^-j-6ov = e^.

dx^ dx^ dx *^

(Paris, octobre 1889, i** question.)

On sait que le changement de variable x=^e^ ramène l'équation proposée à une équation linéaire à coefficients constants; les solutions de l'équation privée de second membre sont donc de la forme

y = e^^= x^\ substituant j^ = x^ dans le premier membre et supprimant

le facteur x^^ on a Téqualion caractéristique

r{r — i)(r — 2)-hi5r(r — i)-j-6or-t-6o = o

OU

/•3+ \ir^-\- 47/^ + 60 = o,

dont les racines sont — 3, — 4 et — 5; on a donc pour l'intégrale générale de l'équation sans second membre

j^ = A 37-3-1- Bar-* -j- G 37-5.

Nous trouverons une solution particulière yo de l'équation complète, par l'emploi de la méthode de la variation des constantes arbitraires, qui nous donne les trois équations

dk , t/B , ^C ,

dk . . dB dC

— 6-r-ar-'* — A-r-cc-^~- 0-7—37-6=0, dx dx dx

d'où

dk ^ dB ^ ^ dC ^ e-^

dk i ^ dB , dC i ^ ^

Or, n étant un entier positif,

x'^e^dx = e^[x" — nx"^-^-hn(n — i)xf^-^ — ..,±n(n — i)...2.\];

on a donc

B = — eT(x^—3x^-h6x — 6), G = — (37* — 4^^-t- 1237*— i^x -h 24); jrQ= e^(ar-^— 6x-^-+- i2ar-^)

et finalement

k-he^ B — 6e^ G-hi2e-^

A, B, C étant trois constantes arbitraires.