Etant donnée V équation

OÙ k est le module de la fonction elliptique sno:, et h

une constante, déterminer h de manière que l' équation

soit vérifiée par

dsnx

Du résultat trouvé, déduire une intégrale particulière de l'équation

et son intégrale générale.

(École Normale, 1889, *'" question.)

Soient

sna? = M, ena? = p, ^iix=w\

on a

y = vw,

dv

-p^ = (6^2m2— I - k^)vw, d'où l'équation à vérifier

ce qui exige

(') Cette équation est celle de Lamé

p- = n(n -:- i) A" sn'^ + h,

y dx^

dans laquelle on fait n -. i.

Dans le cas particulier de l'énoncé, h étant égal à — 2,

on a

et, par suite,

, du , . /i-h u

dx — -, a? = log4/ ,

d'où

qx — g— j:

sna? = M = :

on a donc une solution particulière j)^o de l'équation proposée

Nous en déduirons l'intégrale générale en remarquan t que

r dx'^ yo dx^ ~ '

d'où, en intégrant,

dy dyo