Intégrer l'équation linéaire

On prévient que V intégrale générale est de la

forme

R(a7)e«^-hRi(a?)e«i^,

a et ai étant des constantes convenables , R et Ri désignant des fonctions rationnelles en x,

(Paris, juillet 1890, i" question.)

ÉQUATIONS DIFPÉREiNTIELLBS. 23

Soit la solution particulière j^ = Re^*^, on a

d^x \ dx dx^

d'où l'équation en R,

cette équation est de même nature que la proposée, mais elle renferme un paramètre arbitraire.

Or R est de la forme R(a:) == =^t-t» / et cp étant deux polynômes; le premier membre de l'équation (2) contient ço^ en dénominateur à cause du terme -j-r» tandis

» dx^ '

que le dénominateur du second membre est^^y, il faut donc que (p(^) = :t:; R est, par suite, de la forme

R.^Z(£). On en tire

d^ xf-f dx x^

d^K x^f" — ixf -\-if ^ dx^ ~" x^ '

substituant dans (2), il vient

(3) xf-^%f\ax — \) -i-/[(n-a2)a? — 2a] =0,

équation différentielle du second ordre à laquelle / doit

satisfaire. Or

/= «0^7'* 4- ai a?"-* -h. . .:

on doit donc avoir identiquement

x\pL^n{j% — \)x^-^ H-. . .]-h2(aa? — i)[ao/ia7'*~* -h. . .]

-I- [a?(a2-h i) — 2aJ[aoa?« -hai^?»-* -h. . .] = o;

il n'y a qu'un terme de degré /i -h i, ce qui exige

ao(a2-M) = o, a = ±t;

égalant ensuite à zéro le coefficient de a;'*, on a /i = i ; donc /(:c) est de la îorme /{ûc) = ûo -{-"k. Écrivant enfin que cette expression def{x) satisfait à l'équation (3), on

a X=: > d'où les deux solutions particulières

T -\- i s\nx

. /cosa? . \

X — i %\VLX ./cosa?

Yï = e-'^= cosa? i ( h sma^

et la solution générale

^ / sinarX ^ /cosir . \ j^ = Cl f cosa? I H- <-'2 ( h sin a? 1 .