On demande de démontrer que V équation différentielle
OÙ n désigne un entier positifs admet comme solution un polynôme P(^).
On propose ensuite d^ établir que la même équation admet une seconde solution de la forme
F log h Q,
où Cl est encore un polynôme.
(Ecole Normale, 1890, i*^* question.)
On trouve, par substitution, que le polynôme P(^) doit être de degré n-\- i et que les coefficients des termes de rang pair sont nuls,
on a, en outre, entre deux coefficients consécutifs, la relation
ÉQUATIONS DIFFÉBENTIKLLES. 25
qui permet de former ce polynôme, dont les coefficients sont alternativement positifs et négatifs.
La seconde solution est de la forme (n® 197)
dx
= CP/|f;
pour l'étudier, remarquons que le polynôme P(^) ayant tous ses termes de même parité a ses racines deux à deux égales et de signes contraires, sauf, pour /impair, la racine x-=o] de plus, toutes ses racines sont simples. Soit, en effet, A* >> I le degré de multiplicité d'une racine :r = 6,
P" devra admettre cette racine avec le même degré de multiplicité, ou un degré égal à A* — i s'il s'agit de Tune des racines ih i ; donc j: = 6 sera, en tous cas, racine de
-j—Lj or
dx^ '^ V / j j
donc b serait encore racine dey(;r) contrairement à l'hypothèse.
Dans la décomposition de -5^ en fractions simples, les
termes de la forme t devront disparaître, puisque
toute solution de l'équation différenlielle donnée ne peut admettre que les points critiques ± 1 , d'où
P2 ~ i-^x "^ i^x "^Zà (x-b)^ ^ {x-^-ày'
mais P^{x) étant égal à P^{ — ^), on reconnaît aisément que j3 = j3| , ... et ensuite que m = m^ ; on aura donc
comme seconde solution de l'équation différentielle
Q(;r), étant un polynôme de degré /i, est donc bien solution de l'équation proposée.
On peut, d'ailleurs, vérifier directement que l'expression précédente satisfait à l'équation proposée; substituant, en effet, cette valeur dej^i et remarquant que
dx ^x — \ 1 — a?2 dx"^ ^x — \ {x'^ — \Y
on a
'^ '\dx^^x — \ xi—ydx{^x^-\f dx* )
ou, en tenant compte de l'équation à laquelle P satisfait,
T ^^^-^T^^^^^ ^^^ polynômes de degré n, l'équation précédente sera vérifiée par un polynôme convenable, Q(^), de degré n, qu'il serait aisé d'obtenir et qui ne contient, comme P, que des termes de même parité.
