Intégrer V équation

(Iy \ x^

eux X

où m est une constante donnée, sachant qu!eUe est vérijiée quand y est proportionnel à une certaine puissance de X,

Trouver V expression entièrement explicite de la fonction

oïL y désigne V intégrale générale de V équation précédente.

Dans les deux cas, on aura égard à une valeur re-

marquable de m,

^ (Paris, octobre 1890, 1"* question.)

Soit^o = f^x^ la solution particulière indiquée de cette équation de Riccali ; la substitution donne

— m'^ k^ x^"^ -\- mk{n->r- m — 3)a?'»-i-*

-+- mk{n — m -h 3)a?«-* -h (m — i){m — 4) = o.

En général (m — 2)(m — 4)7^0» et, pour que l'équation qui précède soit identiquement vérifiée, il faut que l'un des autres termes soit constant, ce qui exige /i = dzi .

Faisant n = i , il vient

mk{m — 2 — mk)x^-h mk{fi — m) -{-{m — 2) (m — 4)=o,

équation qui devient identique pour k= ; on a

donc

yo = ^•

m On trouvera de même

yi =

La connaissance d'une seule intégrale particulière jko suffit pour ramener une équation de Riccati à une équation de Bernoulli en posant y =yo -+■ u. Mais, quand on connaît deux solutions particulières d'une équation de Riccati

on peut obtenir l'intégrale générale par une simple quadrature; posons

y-yi

et prenons les dérivées logarithmiques, on a

i Ç[w ^ I /dy ç^\ 1 fdj^ dyx \ ^

u dx y — yçi\dx dx ) y — y\\dx dx j

Or

£-£=(•>'-•>'») [x,(^+ro) + x.],

et de même pour l'autre terme; on a donc

\ du

udx=^'^^'^^'^^

équation qui donne u et, par suite, j^ par une simple quadrature.

Appliquant au cas actuel

du m — 2 / i\ mdx . ^ dx

et, par suite,

uy\ — ya m — i ex -\- x

Formons maintenant la fonctions; mettant j^ sous la

forme

on a

C Y dx , ^ Cxdx r(m — i)x"^-^ — m I r = (2 — m) / -H / ^^ -^

= log

d'où, finalement,

expression dans laquelle a et c sont des constantes arbitraires.

Cas de m =^ 2, — La méthode précédente est en défaut, mais l'équation proposée devient une équation de BernouUi

posant — ^ a, on a l'équation linéaire

^^ du x^ — r

I IX , , . l-^X^

y i-^x^^ ° ^' ^ ixlogax*

enfin