Soit y une intégrale quelconque de Inéquation
on pose
dy dy
on demande :
1° De formel^ V équation différentielle du deuxième ordre à laquelle satisfait la fonction ç (u) ainsi définie;
2® DHntégrer cette équation différentielle et de déduire y de son intégrale, V intégrale générale de Vé-
quation (i).
(Paris, juillet 1898, i*^" question.)
r' L*équation proposée peut s'écrire
dx içx(x -h 2) ^ du ~ i-{- i>^ '
pour éliminer x et dx^ on a, en partant de la relation (> = ux — y et prenant u comme variable indépendante,
di> = X du, X = -Y-y
du
d^ç = dxduj dx=-Y—,
du
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3l
ce qui donne l'équation cherchée
d^v __ du \du
dv Idv \
2° L'équalion (2) peut s'intégrer une première fois en la mettant sous la forme
d^v dv
du!^ du
dv i-{- v^
du d'où
, ^ X . / <3?p \ du
(3) 14- ('*= c I 2 -H -7- ) ou — =
^ \ du) c I —
dv
Pour achever l'intégration, plusieurs cas sont à considérer, suivant le signe de i — 2c,
I — 2c = X*, (4) p = X tang - (w -h c'),
I— 2C = — X2, (5) — (M-Hc') = l0g ^^^^,
L'équation (3) donne d'ailleurs
(7) y = UX — V = UX — ^CX — (l — 2C),
formule dans laquelle on remplacera u en fonction de
V = ^CX — (l — 2C),
à l'aide de l'une des formules (4), (5) ou (6), suivant le signe de 1 — 2 c.
32 PREMIÈRE PARTIK. — GUAPIïRK II.
(Pu d^v •
dx^ dx^
(Paris, novembre 1892, 1" question.)
Si à ces deux équations on joint la dérivée seconde de
la première et que l'on élimine s^ et ^-^ > on aura Téquation
linéaire
dx^ dx^
qui a pour équation caractéristique
d'où
w = ( A -h Ba:)cosa7 +(C -H T>x)sinx -h Uq.
On pourrait trouver une solution particulière a,,, en remplaçant dans le second membre de l'équation en w, sin^ et cos^ par des exponentielles, ce qui ramènerait le second membre à une forme permettant d'obtenir direcr tement une solution particulière. On peut encore poser
Uq=P coso; + Q sina" ; substituant et identifiant, il vient
dx'^ '^^d^ -^dx^ ~^'
d^q ,d^P .d^(l ^ dx^ ^ dx^ ^ dx^ ~ '
équations dont on aperçoit immédiatement la solution particulière
d'où
= —7 et Uj= --sinx:
it\ '24
p = ( I -+- A — iD -4- Bo? I Gosx
LB-f-G-^/^D- Ma:+ ^1 sina-.
ViLLiÉ. — Comp. \\\.
