CHAPITRE III

204. Déterminer une fonction u des variables x^ j% qui satisfasse à Inéquation aux dérivées partielles

du du

et qui s annule pour ^ = o, quels que soient y et z. Soit cp(j;, y, z) la valeur de u définie par les conditions précédentes ; on propose de trouver pour z une valeur fonction de x et de y^ et telle que Von ait à la fois

dz dz . ^

(Gaen, juillet 1889.)

Les équations à intégrer sont les suivantes :

dx dy dz du __ ^ du — udz

1 o yz ~ uy -h z z^ '

y = (X, — z:=j7H-p, z = '^e'^^' = ye^^

u = z[x-h f(y, ze-^y)].

Pour que u et x soient simultanément nuls quels q i« soient y et z, il faut que

u = zx — (f:

alors

dz ^ -^^dx -^ -^dy = z{y dx -^ X dy)\

d'où

205. Déterminer une fonction z de deux variables indépendantes x et y vérifiant V équation aux dérivées partielles

(i) pq — z'^ = Q,

et se réduisant à — lorsqiion fait x = i.

(Toulouse, juillet 1889.)

Les dérivées partielles du premier membre de Téquation proposée sont

et les équations simultanées

dx dy

dz dp dq

Fp-^Çlq~ X-hZ/?~ Y-+-Z^

deviennent ici

dy dz dp dq ~~ p ^ ipq ~ 3pz^ ~ 3qz^

d'où

dp dq 3 dz p q 1 z

ce qui donne

Po qo j' ^0

avec

ui devient

pdx = q dy = - dz,

I 1 -1 podx = qo dy = - zl z ^ dz]

Jté

et, en intégrant,

(4) /?o(a? — i) = ^o(7-7o) = — -ÎU '^ — -op-

posons alors

Zq= -,

d'où

I zl i

et substituons dans les équations (4), nous aurons

^'^ -1^ - -75- — ;;! te - ^">

les deux premiers rapports donnent y^ z= ^ et, en éliminant j^o ^ l'aide des rapports extrêmes,

(6) xyz = }\

il est d'ailleurs aisé de vérifier que la fonction z déterminée par l'équation (6) satisfait aux deux conditions de l'énoncé.

206. Soient O^, O^', Oz trois axes de coordonnées rectangulaires. Déterminer les surfaces telles que, en menant la normale par un point M de la surface, et en désignant par A, B, G les points oii elle rencontre les plans des xy^ des yz et des zx, on ait, quel que soit le point M,

MÂ''=MBxMC.

(Bordeaux, juillet 1889.)

Les projections sur O^ des trois segments MA, MB, MC de la normale sont respectivement

d'où l'équation aux dérivées partielles

pqz*^ — xy = o.

Pour l'intégrer, nous avons à étudier le système d'équations simultanées

dx dy __ dz dp dq

qz^ pz'^ ipqz"^ y — ip'^qz x — 2,pq^z*

formons les combinaisons dz p dx — q dy

ipqz^

X dp — y dq d{px — qy) " '^PÇ^iqy — p^) ~ —'2pqz{px — qy)

d{px — qy) dz . .

->-— =0' z{px — qy) = %,

px—qy et

dz p dx -^ q dy — dz

ipq z^ o

xdp-\-ydq d(px -h qy — z)

ipqz^ — ipqz{px -\- qy) — ipqz{px -{- qy — z) OU

d(px -h qy — z) dz , no

— ^^- ^^ H =0, zipx -\-qy ^ z) = S;

px -\-qy — z z ' \r ^j ? v^

on en tire

I [^ p-Ha^ ^ I / ^ p — a

^ix\ z j ^ iy\

p dx = q dy = -dz;

substituant pour p et q les valeurs précédemment obte-

nues, on a

dx z dz dy ^ z dz