CHAPITRE III

d'où

y^ z'^ -\-^ — CL

^0 -sJ+P-Ha'

yl ~ -35+ p — a'

, ^ xlz^ — zlx^

iP* a7j

d'aillé

urs on a aussi

égalant les deux expressions de ^ + a et celles de ^ — a, puis éliminant Çq entre les deux relations ainsi obtenues, on a l'intégrale complète

dans laquelle Xq est une constante numérique, j^o ^^ ^0 l^s deux constantes arbitraires.

dx^ -^ ây^

par le changement des variables indépendantes x ^ y ^1^ u, v^ nouvelles variables liées aux anciennes par les équations

— = u, xy = i>j

et intégrer la nouvelle équation ainsi obtenue.

(Dijon, juillet 1889.)

Prenant ^ et j^ comme variables indépendantes, on a les formules

d^z = -^—dx^-k- 1 ^ ^ dxdy-^-r-^dy^, dx^ ôxdy '^ dy^ *^

d^z = -r-T du^ -h 7. - — r- du dv -h -r-r dv^ -H -— rfî M 4- T- »* t^ou^ ouov dv^ du ov

puis, à l'aide des équations de transformation,

X = uy, xy = p,

, dx — u dy ,„ du dr

du = — ) d^u = — 7. ,

dv = X dy -h y dx, d^v = idx dy.

Substituant ces différentielles premières et secondes de u et ç^, et identifiant les coefficients de dx^ et ceux de dydans les deux premières formules, il vient

dx^ y^ du^ dudv *^ dç^

du^ du ov ov^

^â^z d^z d^z ^d^z dz

d'où l'équation transformée

âz d^z

du du dv

Pour l'intégrer, nous poserons — =^'; elle devient alors

dç qui a pour intégrale

et enfin

z = s/x^/(^Çj +cp(a:7),

/ et <p représentant deux fonctions arbitraires.

4o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

208. Étant données les équations simultanées aux dérivées partielles

du au __ dv dv __

dx ày ~~ ^ dy dx ~ ^

où u et V sont des fonctions inconnues des variables indépendantes x et y, trouver des constantes^ a b, a' et 6', telles que si dans les équations données on pose

on puisse en déduire deux équations dont chacune ne contienne qu^une des nouvelles fonctions inconnues\ et [JL. Intégrer ces équations et en déduire les valeurs générales de u et de v en fonction de x et y^ sous une forme où ne figurent pas de symboles imaginaires.

Déterminer les fonctions arbitraires qui entrent dans ces valeurs, de telle sorte que pour x= o on ait identiquement u^-j-y^=: i^ et qu'en même temps^ pour y z= o^ on ait identiquement v^-{- x*= i .

(Gaen, juillet i888.)

Les fondions X et [jl satisfont aux équations simultanées

Pour que la première ne contienne que X et la seconde que [JL, il faut que

d'où les conditions

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. ^l

soient a'= ia, b'= dzib;\ satisfera à l'équation aux dérivées partielles

ax dX __ .^

d'où

et de même

a prend alors la forme

u =: acpe 2 | ^,j;g 8

et pour que i puisse disparaître, il faut :

1° Que le coefficient de sin soit a<p — 6A; d'où

2** Que acp et 6<j^ soient imaginaires conjuguées, de manière que leur somme soit réelle et leur différence entièrement imaginaire. Soient

2acp = î-hiTj, 7.h^ = \ — irj,

^ et 71 étant deux fonctions arbitraires ^ç, x -^ y remplaçant <p et t}^ ; on aura

^ X — y . x—y X — y ^ . x — y u =:t cos Tn sin — , i> = — Tn cos E sin :

ce sont les fonctions cherchées.

Nous avons enfin à déterminer les fonctions Ç et tj de telle sorte que pour

y — o, V = — T\a:Cos J^sin — = — \/i — x^,

et, comme ce sont des identités, on doit avoir

cos ^ -t- sin

d'où les expressions de u et {^:

cos sin —

cos — -H Sin

X — y . X — y cos — -h sin —

cos — -H sin —

209. f/he surface S étant rapportée à trois axes rectangulaires Ox^ Oy^ O^, soient M «/i point de S, MT /a tangente en ^ à la section de S par le plan zOM.^ T le point oit MT rencontre O^, m /a projection de M 5ar O^ e< P /a projection de M 5wr /e plan xOz,

Former et intégrer l'équation aux dérivées partielles que vérifient toutes les surfaces pour lesquelles le produit M/n x OT des segments Mm et OT est égal,

en tout point M, à OP.

On pourra prendre comme fonction le z du point M et comme variables indépendantes les coordonnées polaires r et 6 de la projection du point M sur leplanxOy.

(Paris, octobre 1896, i""® question.)

On a

Um=r, OT = z — r^y OP = ^«-i- r«cos»6:

d'où l'équation différentielle du Heu

•/ dz\

r[ z —r ■— ) = ^2-f-r2 cos^ 6,

Elle est homogène et devient, en posant u = -

/• - — h w^ -h cos* — o ; or

les variables se séparent et l'on a

Ô^'*^^^"^^ -+-Iogr = logcp(Ô),

cos' d'où l'équation du lieu des points M

2 = rcos6tang|^log^^J

Toutes ces surfaces admettent, pour 0==: -, la droite

singulière ^ = o, c'est-à-dire l'axe desj^; c'est un résultat qu'il était facile de prévoir.

210. Les axes Ox^ Oy et Oz étant rectangulaires, on considère la famille de plans P

oàX est un paramètre :

1° Former V équation aux déris^ées partielles du premier ordre à laquelle doit satisfaire une fonction z =if(^Xyy) pour que la surface S qu^elle définit coupe orthogonalement tous les plans P; intégrer cette équation;

1^ Montrer que ces surfaces S renferment une famille de surface S| dépendant d^une constante, que tous les plans P coupent suis^ant des cercles. Déterminer pour ces surfaces S| les deux familles de lignes de courbure (qui sont toutes deux planes).

Remarque. — Pour intégrer l'équation aux dérivées partielles^ on pourra employer, comme équation auxi-

liaire, V équation que doit vérifier la fonction w (^u^ <^)

pour que le plan

z = ux -\- vy — w{u^v)

enveloppe une surface S.

(École Normale, 1894, i"^* question.)

La condition d'orthogonalité de la surface S et du plan P est \p — q = o, d'où, par Télimination du paramètre A, l'équation cherchée

(i) p^ -+- q^(a: -i- i) — pqy = o.

Pour exprimer que le plan

(2) z =px-hqy — w(p,q)

enveloppe une de ces surfaces, nous remarquerons que l'on obtient l'équation en coordonnées curvilignes (/?, q) de l'enveloppe de ce plan, en joignant à l'équation (2) ses dérivées partielles relatives aux paramètres/? et q

substituons dans l'équation (i), nous aurons l'équation a ux dérivées partielles à laquelle doit satisfaire la fonction iV

elle est linéaire et s'intègre en posant

dp __ dq dw p dq — q dp

~~~q^~' Tp~ p^-^q' ~ q{p''-^q'') '

d'où une première intégrale

p^-^qi— a'

. P pujs, en posant - = ^,

dw 1= — qdt;

d'où

q ^ i-\- t^ = OL^

dw 4- a • = Oj

= cp(a) -alog(^-4-/n-^0>

et enfin

(5) w = (p(v//?2+. qi) __ ^^2+ qt log ^J + ^1 ^ ^ j.

Nous en déduisons les équations en coordonnées curvilignes de la famille des surfaces

z = çp' //>2-+- q^ — <p.

Pour les interpréter, nous changerons notre système de coordonnées curvilignes, en introduisant l'angle (^ que fait avec O^r la trace d'un plan P sur le plan xOy et prenant

a = \//?^+ q^ pour seconde coordonnée curviligne. On a

— = A = tangt', ~ = cosc, - = smp,

[ -f- ^, = COt t' H : = COt - i

q^ sint^ 2

d'où

a7 = cosp|cp'(a)-+-logtang^J -^ sin p,

^ ^ V=sinplcp'(a)H-Iogtang-J +^T^cosP,

z = acp'(a) — o(a);

OU encore, en posant

cp'(a) = a, ^=V',

ix = (u -h\) cosp — V sine ^ = ( M -h V ) sin p -i- V cos p,

U étant une fonction arbitraire de u,

La forme de ces équations montre (n°215) que les surfaces S sont des surfaces moulures, qui jouissent toutes de la propriété d'avoir pour lignes de courbure leurs lignes de niveau et de plus grande pente; ces deux familles de lignes sont planés.

Pour que le profil de la surface soit circulaire, auquel cas la surface devient une surface canal à directrice plane, il suffit de prendre pour U la fonction y/R^ — u'^; on a, en effet, dans ce cas, la combinaison

(8) {x — Y cosp -hV sin v^-h {y—V sint; -- V cosp)2-f- ^2 ^ R2.

L'intersection de la surface S par un plan ç = const. est donc un cercle. Il est aisé de constater, en tenant compte

de V = -T — > que le centre de la sphère (8) est sur la

trace du plan

j^=Xa?-+-X-^r- =(a?-f- i) tangt^ -h colp;

le rayon de ce cercle est donc constant et égal à R.

Les résultats précédents peuvent être obtenus a priori; considérons, en effet, une surface moulure admettant pour plans de profil la famille des plans donnés, le z de cette surface satisfera l'équation (i), et comme il entre une fonction arbitraire dans l'équation de la surface, savoir l'équation du profil plan, ces surfaces moulures constituent la solution la plus générale du problème proposé.

Il est facile d'avoir les équations de celte famille de surfaces; les équations les plus générales d'une surface moulure dont les plans de profil sont parallèles àO^ sont les équations (7) dans lesquelles U et V sont deux fonctions arbitraires l'une de i^, l'autre de u. Pour que cette surface admette comme plans de profil les plans P, il faut pouvoir identifier l'équation de ces plans avec celle que l'on obtient en éliminant u entre x eiy

y = X tangp

cost^

ce qui entraîne

d'où

X = tang V, V = -: — t

V = log tang-

La question est ainsi complètement résolue, plus généralement même que ne le comporte l'^énoncé.

211. Une surface est rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires et les coordonnées x^y, z d^un point variable de cette surface sont exprimées en fonction de deux paramètres u et r.

On suppose, de plus, que Von a identiquement

dx àx du dv

dy dy du d\^

dy du

dz dz du dv ~

dz du

dz ~d~v

dudi> dudv dudv

1° On démontrera que les lignes de courbure de cette

surface sont données par les équations

Il = const., V = const.

2® Dans le cas particulier où x^= m, trouver les expressions générales des fonctions y et z de u et v satisfaisant aux équations (i) e^ (2).

(Paris, juillet 1896, 9/ question.)

1" Les équations (i) et (2) expriment, la première que les courbes u qI v sont orthogonales, et la seconde qu'elles sont conjuguées (^); ce sont donc bien les lignes de courbure.

1^ Dans le cas où ^ = w, l'équation (2) se réduit à

du dv du dv

dy âz

qui s'intègre immédiatement par rapport à w, et donne (3) |r + Jo(.) = o

ou, en vertu de l'équation (i),

(5) -3 = JKCp(p)-4- 4^(t^),

les fonctions (f et ^ étant arbitraires. Portant dans Téqua-

dz dv

dz .

tion (3) la valeur de -r-? tirée de l'équation (5), il vient

^(l-f-ç>2)-f-jK?cp'-+-cpf =0.

(*) G. Darboux, Leçons sur la Théorie générale des surfaces ^ V* Partie, p. 100.

Cette équation linéaire donne, U étant une fonction arbitraire de u^

Ce sont les expressions cherchées.

L'équation (5) étant linéaire en y et 5 montre que les lignes de courbure v = const. sont planes et que leurs plans sont parallèles à O^; quant aux lignes de courbure de la seconde famille, u =x = const., elles sont situées dans des plans normaux à O^. Les surfaces jouissant de la propriété énoncée x = u sont donc des surfaces moulures.

Pour faire ressortir que les équations (6) sont celles d'une surface moulure, effectuons le changement de variable cp(ç^) = tangX, et remarquons que ^ étant une fonction arbitraire on peut poser

j^ = (U -I- V) cosX — V'sin>,

V étant une fonction arbitraire de X; or l'équation (3) donne

^ tangX =— ^ = (U -+- V) sinX -h V sinX,

z = r(l]-hY)cos\d\-^ fw'cosldl;

intégrant par parties, les termes en jY' sm'kcf)^ disparaissent, et il reste

;: = ( U -H V) sin X + V cos X -H Ui ;

mais U| ne peut être qu'une constante d'après l'équation (4); on a donc bien les équations classiques des surfaces moulures, en joignant aux expressions de y et z,

ViLLiÉ. — Comj). III. 4

5o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

celle de

les fonctions /(U) et V(X) étant arbitraires.

212. Intégrer V équation aux dérivées partielles des surfaces dont la normale reste tangente à une sphère donnée.

Démontrer que Vun des systèmes de lignes de courbure se compose de développantes de cercles, et que les lignes de courbure du second système sont sphériques,

(Ecole Normale, 1896; question unique.)

Soient MA une normale; A son point de contact avec la sphère de centre O et de rayon a; on a

d'où Téquation aux dérivées partielles des surfaces cherchées

z = px -f- qy -f- v/i H- p^-h q^ ^x^-h y^-^ z^— a^ . Posant, pour abréger,

on a

P=a74-/?R, Q = r + 3'R> d'où

F/? -f- Qgr = px -^ qy -^ (/>'H- ^2)R r= ^ — Rj

le système d'équations simultanées à intégrer est donc

dx __ dy dz __ — R<f/? — ^dq ^ X -\- pK~ y -{- qK~ z — R" x -^ pz ~~ y -\- qz ~ '

ÉQUATIONS AUX DÉBITÉES PARTIELLES. 5f

on en déduit aisément les combinaisons

^ __ d(x-hpz) d{y-hqz) p dp ^ ,

d'où une première intégrale