X -h pz =z a{y -h qz

d'ailleurs

dp = ^— - dq = adg, © = aûr-+-p;

y -hq z ^

éliminant /?, on a une intégrale complète

les caractéristiques sont dans des plans passant par le

centre de la sphère; de plus, l'équation p -^ = a montre

que ce sont des développantes de grands cercles. Enfin l'équation

dp dq

d{x-\- pz) d{y -\- qz)

prouve que ces caractéristiques sont lignes de courbure des surfaces données par les intégrales complètes, ainsi que pour leur enveloppe représentée par l'intégrale générale.

Méthode géométrique. — Le problème proposé revient à la recherche d'une surface S dont on connaît une des deux nappes focales Ni . Considérons d'abord les arêtes de rebroussement Ai des normalies développables dont Ni est le lieu, ces lignes A| sont des lignes géodésiques de N^ ; soit, en effet, D l'une des normales à la surface S, le plan tangent à la nappe N2 au point où elle est touchée par la droite D est le plan tangent à la normalie Pi tout le long

de la droite D, c'est-à-dire le plan osculateur de l'arête de rebroussement A| au point M,, où elle est touchée par la droite D; or ce plan est perpendiculaire au plan tangent à la nappe N| en M|, la courbe A^ ayant en tous ses points son plan osculateur normal au plan tangen ta la surface N< sur laquelle elle est tracée, est ligne géodésique de cette surface.

La surface S pourra donc être engendrée d'une infinité de manières, en traçant sur la nappe donnée N^ une famille de lignes géodésiques à un seul paramètre, dont elle coupera les tangentes à angle droit.

Dans le problème actuel, la surface N^ étant une sphère, il faut concevoir sur la sphère une famille quelconque de grands cercles ; la surface cherchée coupant à angle droit les tangentes à ces cercles sera le lieu d'une famille de développantes de cercles de rayon égal à celui de la sphère. La seconde nappe N2 de la surface focale, enveloppe des plans de cette famille de grands cercles, est un cône ayant pour sommet le centre de la sphère. Toute surface S répondant à la question pourra donc être engendrée par une développante de cercle située dans un plan tangent à un cône quelconque ayant le centre de la sphère comme sommet, et qui se meut, sans changer de forme, pendant que le plan qui la contient roule sur le cône en le touchant successivement, suivant toutes ses génératrices.

Les développantes de cercles constituant une première série de lignes de courbures, il est aisé de démontrer que toutes les lignes de courbure du second système sont sphériques. Elles sont, en effet, les trajectoires orthogonales des génératrices des normalies développables P2, c'est-à-dire des lignes de courbure de cette famille de normalies ; or la ligne de contact d'une normalie P2 avec la sphère est ligne de courbure de cette normalie, car tout le long de cette ligne les normales à la surface P2 se confondent avec celles

de la sphère. D'ailleurs, toute ligne obtenue en portant une longueur constante sur chaque génératrice recti ligne de P2, à partir de la ligne de contact avec la sphère, est aussi ligne de courbure de P2, ainsi que de la surface S, et une telle ligne est évidemment sur une sphère concentrique à la sphère donnée.