On considère la famille de courbes - H — ? = a
où r et r' désignent les distances d'un point à deux points fixes F et F^ dont la distance est 2c, et cl une constante arbitraire variant d'une courbe à l'autre. On demande de trouver les trajectoires orthogonales de cette famille de courbes.
N. B. — Après avoir formé V équation différentielle en r et r' de ces trajectoires y on introduira les nouvelles variables u et v définies par les relations
et enfin, dans l'équation entre uet ^, on posera u^=z\]^ v^ ■= V, V équation différentielle entre U e^ V pourra être complètement intégrée.
(Paris, juillet 1890, 2* question).
Nous traiterons d'abord le problème en employant les coordonnées rectilignes qui fournissent une solution très simple.
On a
d'où l'équation différentielle de la famille de courbes (x — c)dx-hydy (x -{- c) dx -\-y dy
et celle de leurs trajectoires orthogonales
ydx — {x — c)dy y dx — {x-^c)dy __
ou, en divisant les numérateurs parj^^ et les dénominateurs par^'-^,
h(^7r hmT
et, en intégrant,
vM¥)' v/
que l'on pourrait encore écrire
cosX -h cosX'= a (^fig' ^)y
Fig. I.
(i étant un paramètre arbitraire.
Or
d'où l'équation en coordonnées bipolaires des trajectoires orthogonales des courbes données
Nous suivrons maintenan lia méthode indiquée dans Ténoncé.
Soient MM' un élément rf^ de courbe, 6 et 6' les angles qu'il fait avec les rajons vecteurs r et r', on a
dr = ds cos 6, dr' = ds cos 6',
d'où
cos 6 dr
cos 6' dr' et, pour une direction MM| normale à MM',
cos ( - H- 6 ) . .
\2 / sm6 or
cos(^--^0j d'ailleurs
cos(0-e')= , ^ ;
ces trois relations suffisent pour éliminer les angles 8 et 8'.
On a d'abord, en éliminant 9,
'2 — 4c* dr ... Sr . .-, 8r /<fr 8r\ ..,
• = (gp cose j + ^^, sme j = ^^ + (^, - ^^j cos«6', et, en éliminant cos^B',
qui s'écrit finalement
après suppression du facteur -rj — ^-7; c'est l'équation
diflFérenlielle générale des trajectoires orthogonales en
coordonnées bipolaires.
dr dr' Dabs l'exemple proposé — + -^ = o, l'équation pré-
dr cédente devient, en éliminant -ri et remplaçant 8 par rf,
r' dr /r* dr '^ V^ dP '^ \r^ ~"dP
dr'
irr'
OU, avec le changement de variables indiqué,
(U -h Vy d(u -4- p) M^H-pî— 2C* r(w-M>)2 d{U-{-V)'\
et enfin
aV(V— c»)rfU =(U-hV)(U — c2)éA^;
c'est une équation de Riccati
dV U2 U c«
