TT-, = VT-rrr;^ rr -h — — t- r j
rfV V(V — C2) V V —
et l'on reconnaît, sous la première forme, qu'elle admet les solutions particulières
Uo = V et Ui = c2; on en déduit immédiatement (n" 200)
ou
Skrr' = (r — r') [(r-h r'Y — 4^2]
équation qui se ramène immédiatement à la forme précédemment obtenue en posant A= •
214. Chaque point d'une courbe gauche est pris pour centre d'un cercle dont le rayon varie d'un point à
58 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE lY.
Vautre, mais dont le plan reste normal à la courbe : trouver les trajectoires orthogonales de ces cercles; déterminer leur rayon de manière que ces cercles forment un système de lignes de courbure de la surface
quHls engendrent,
(Paris, octobre 1890, 2" question).
Le problème peut être résolu très simplement par la Géométrie. Considérons une surface réglée ayant pour directrice l'une des trajectoires orthogonales et pour génératrices les rayons correspondants des cercles; le plan mené par l'une des génératrices, normalement au plan du cercle qui la contient, passe à la fois par la tangente à la courbe donnée et par celle à la directrice de la surface réglée; il est donc tangent en deux points d'une même génératrice, ce qui exige que la surface réglée soit développable. Les trajectoires orthogonales cherchées sont donc les intersections de la surface lieu des cercles donnés, avec cette famille de surfaces développables qui ont comme arêtes de rebroussement les diverses développées de la courbe donnée.
Cherchons maintenant quelle doit être la loi de variation des rayons pour que ces cercles soient lignes de courbure de la surface qu'ils engendrent. Le théorème de Joachimsthal nous montre que les plans tangents à la surface aux divers points d'un cercle générateur doivent couper le plan de ce cercle sous un angle constant, c'està-dire que les normales correspondantes de la surface forment un cône circulaire droit; donc la surface est tangente tout le long d'un cercle à une sphère ayant pour centre le sommet du cône. On en conclut que la surface est l'enveloppe d'une sphère ayant son centre sur la tangente à la courbe donnée; mais, pour que deux sphères infiniment voisines se coupent suivant un cercle normal
TRiiJECTOIRES ORTHOGONALES. 69
à la courbe, il faut que leurs centres soient sur la tangente à c ette courbe; le lieu des centres des sphères admettant les mêmes tangentes que la courbe se confond avec cette courbe. Enfin, pour que ces deux sphères se coupent à u ne distance infiniment voisine de leurs centres, il faut q u*elles aient même rayon; leur enveloppe est donc une surface canal. On sait d'ailleurs qu'une telle surface admet pour lignes de courbure les cercles et leurs trajectoires orthogonales.
R éprenons la question par l'analyse.
Soient {^fig* i\
Fig. 2.
OXYZ un système d'axes rectangulaires fixe; Cl la courbe donnée ; M| ÇL\ Y< Z^ ) l'un de ses points ;
Ri et T< ses rayons de première et de seconde courbure en ce point.
Considérons un système d'axes mobiles, ayant M< pour origine et formé par la tangente, la normale principale et la binormale à la courbe C^ ; désignons enfin par a, P, y; a', P', Y» ^' 'i P"? y ^^^ cosinus directeurs de ces trois droites par rapport aux axes fixes.
Les coordonnées relatives d'un point M du cercle
6o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
seront
X = o, y=rcos6, ^ = rsin6,
el ses coordonnées absolues d'où
dX = dXi -ha'dy -h ^' dz h-j û?a' -+- z dn^
= a (i— ^] ds^-^^ idy^ ^ dsA -+- a" (dz — ^ dsij
et deux autres expressions analogues.
La forme même de ces projections d'un élément d'arc quelconque tracé sur la surface nous montre que les projections de cet élément sur les axes mobiles sont
^y = dy -{-—■ z = dr cos^ — r s'inb d^ -\- -^ z = ^dr — zld^^-^^ Al ^1 ^ \ ^1,
Zz = dz — -=^ y = dr s'inb -{- rcosô c?6 — 7=-^ r=- dr -\-y ( d^ — -7=-^ Ti -^ Ti *^ r •^ \ Ti
Cette direction, pour être normale au cercle, doit se projeter sur le plan du cercle suivant le rayon, c'est-à-dire que l'on doit avoir
OU
L'équation différentielle des trajectoires orthogona les des cercles sera donc
cette équation donne précisément les directions pour lesquelles les normales r à la courbe Ci ont une enveloppe.
TRAJECTOIRES ORTHOGONALES. 6l
Pour exprimer que les cercles sont lignes de courbure de la surface, désignons par X Tangle constant pour un même cercle, sous lequel le plan tangent à la surface coupe le plan de ce cercle; cet angle est celui de l'élément d'arc ds de la trajectoire orthogonale avec sa projection dr sur
le plan du cercle, ^ =:cos)v; d'ailleurs les composantes
de ds, suivant les axes mobiles, s'obtiennent en faisant
rf9 = -=-^ dans les expressions générales de S;r, 8y et S5,
d'où
dx et
= (i — ^\ dsx^ dy = drcosbj dz = drs'\n^
dr^ = cot'X ( I
-^Yds'
Or, tout le long du cercle, R^, dr et X sont des constantes; il faut donc, pour que le second membre de cette équation soit indépendant de y, c'est-à-dire de la position du point M sur le cercle, que Ton ait
d'où
dr = o et r = const.
La surface engendrée par le cercle est une surface canal.
215. Les points d'un plan étant rapportés à deux axes rectangulaires Ox^ Oy, on donne les relations
X = {u-\-y) cosp — V sin p, y = (m -h V) sinp -h V'cosp,
62 PREMIÈRE PARTIE.* — CHAPITRE lY.
OÙ u et V désignent deux paramètres variables j V une fonction de v et Y' sa dérivée.
Vérifier que les droites v = const. sont normales aux courbes u = const.
Démontrer que pour obtenir toutes les sur/aces dont les lignes de courbure se projettent orthogonalement sur le plan xOy suivant les droites v = const. et suivant les courbes u = const., il suffit d^ associer aux formules précédentes une relation de la forme ;j = U, où U est une fonction arbitraire du seul paramètre u,
(Paris, juillet 1895, i*^ question).
1® On a généralement
dx = cos V du — (w-i-V-l- y") sin p dv , dy = sin p û?M -t- ( w H- V -h y") cos v dv ;
le coefficient angulaire de la droite p = const. au point
(w, v) du plan est
dy
celui de la tangente à la courbe u = const. est, au même
point,
dy
ces deux lignes sont donc rectangulaires. On en conclutque les courbes u = const. sont parallèles et admettent, pour développée commune, l'enveloppe des droites v = const. a® Les lignes de courbure d'une surface se coupant à angle droit, il faut, pour qu'il en soit de même de leurs projections sur le plan xOy, que les tangentes à l'une des familles soient parallèles à ce plan, autrement dit que les lignes de l'un des systèmes soient dans des plans normaux à O^, ce qui exige que z ne soit fonction que de
l'une des variables u ou ç. Si z =z/(ç)^ la surface est réglée et à plan directeur, mais alors elle n'admet pas ses génératrices i^ = const. comme lignes de courbure, puisqu'elle n'est pas développable.
La seule hypothèse possible est donc .s = U; les courbes ç = const. de la surface sont alors des courbes planes, superposables puisque les lignes u = const. sont parallèles, et la surface peut être engendrée de la façon suivante :
Prenons une courbe plane u = const. pour base d'un cjlindre droit, et concevons dans un plan normal à ce cylindre mené le long d'une génératrice G une courbe quelconque, puis déplaçons ce plan, de façon qu'il reste normal au cylindre et que la droite G de ce plan vienne successivement coïncider avec les autres génératrices du cylindre; la surface engendrée par la courbe et que l'on nomme surface moulure, répondra à la question. U est aisé de reconnaître, en effet, que les lignes de niveau et les lignes de profil ou de plus grande pente de la surface sont ses lignes de courbure. L'un des rayons de courbure principaux en un point de la surface est celui du profil de la moulure en ce point; l'autre a pour projection sur le plan j?0^ celui de la courbe de niveau correspondante u = const.
Reprenons cette seconde partie par l'analyse; on a, pour l'expression d'un élément d'arc quelconque tracé sur la surface,
les lignes w = const. et r = const., qui doiventêtre lignes de courbure, se coupant à angle droit, le terme en du dv doit avoir son coefficient nul, ce qui exige que z ne dépende que de l'une des variables.
D'ailleurs, on a, en général, pour les coefficients directeurs de la normale à la surface, les expressions
dr dz dz dy dz . dz . ,. ,.„.
ou ov ou oç oi> ou '
M = — T- (u -H V-h V'')sinp— -r- cosp,
ou Oi>
dans le cas de .s = U, ces formules nous donnent, pour les cosinus directeurs de la normale à la surface,
a = r==^ cosp = Ui cosp, 6 = Ui sinp, c =
et l'équation différentielle des lignes de courbure
dy da — dx db =^ o
se réduit à
[U; ( w + V -4- V) — Ui] <fw éf(> = o;
les deux familles de lignes u = const. et ç^ = const. sont donc bien les lignes de courbure de la surface.
doP
La formule R = — -r-y qui donne les rayons de courbure principaux, devient, pour les lignes de niveau u = const.,
et pour les lignes de plus grande pente i^ = const.,
R2= JJF— •
Considérons maintenant les surfaces z =/ (i^), on a, en posant A2 = z''^ + {u -hY-h V'OS
z' sinv -3'cosp
et l'équation différentielle de leurs lignes de courbure est
z'(u-hY-h\') ds^^-h z" du ds^ -^ du ^ d ^ = o;
n'étant pas de la forme
dudçF(Uy ç) = o,
elle n'admet pas les solutions u = const., v = const., et les surfaces dont il s'agit ne répondent pas à la question.
YiLLiÉ. — Comp. III.
