Trouver une surface de révolution telle que
L^un de ses rayons de courbure principaux soit proportionnel à la puissance n^^"^^ de l'autre,
Examiner, en particulier, le cas où le rayon de courbure qui correspond à la section méridienne est proportionnel au cube de Vautre,
(Paris, octobre 1889, 2" question).
Prenons pour axe des x l'axe de révolution, la longueur N de la normale à la méridienne, limitée à l'axe de révolution, a pour grandeur absolue, y étant positif,
,.dy^
d'où l'équation différentielle de la méridienne
dx^
la constante donnée k étant négative ou positive, suivant que la surface est à courbures directes ou opposées. Mettons cette équation sous la forme
\^ dx^J dx dx^ -^ dx elle s'intègre une première fois et donne
dy^\ 2
le problème général est ainsi ramené aux quadratures.
Dans le cas particulier où /i = 3, l'équation précédente
devient
dy^ ^y^ — ' dy^ ^y^ — i
^~^dx^~' ky^ ' dôc^ ky^'
d'où
supposant d'abord X ^^ o et négligeant la constante addltive, on a, pour l'équation des méridiennes,
X =± \- y/X j^2 , ^ \ky^—\'^x^=^k\
ce sont des ellipses ou des hyperboles. Si A* > o, on a des hyperboles ayant Oy pour axe transverse; si A" < o, on a des ellipses, ou des hyperboles ayant O x pour axe transverse.
Enfin, dans le cas de à= o, on a
qui représente une parabole réelle si k <C o.
On savait d'ailleurs que les coniques jouissent de cette propriété que leur rayon de courbure est proportionnel au cube de la normale.
218. Étant donnés trois axes rectangulaires Oxyz, on fait tourner autour de Oz un plan dont OA représente la trace sur le plan des xy. Dans le plan zOPl on trace la circonférence V tangente en O à Vaxe des z et de rayon r, en désignant par r une fonction donnée de V angle ^ fait par OA avec Ox. Quand 9 varie, La circonférence r engendre une surface S.
I® On demande de démontrer que cette surface peut être regardée comme V enveloppe d^une sphère dépendant du paramètre 6 et ayant F pour caractéristique.
2® Trouver les lignes de courbure de S.
N. B, On rapportera un point quelconque M de la surface S à V angle ^ et à V angle o que fait CM avec CA, en désignant par C le centre de la circonférence F.
(Paris; juillet 1894, 2® question.)
Solution géométrique. — Pour démontrer que la surface S est Tenveloppe d'une sphère, il suffit de prouver que l'on peut faire passer une sphère par deux circonférences infiniment voisines ; or OA étant le diamètre de F et OA' celui de la circonférence V infiniment voisine, il est évident que ces circonférences se trouveront sur la sphère qui admettra pour grand cercle la circonférence circonscrite au triangle OAA'.
Le lieu des centres de ces sphères est, dans le plan xOy^ l'enveloppe de la normale à OA menée par le centre C; une telle droite a pour équation
X cos9 H- j^ sin6 = r;
en y joignant sa dérivée
rcosO — :rsmD = -j^y
l'élimination de 9 entre ces équations donnerait le lieu
cherché. La seconde équation est d'ailleurs celle d'une
dr droite normale à la première et située à la distance -75 de
l'origine, de sorte que le centre de la sphère est situé sur
la normale à OA menée par le point C, et à une distance
dr p = — de ce point, comptée dans le sens des angles
croissants.
La première famille des lignes de courbure sera constituée par les caractéristiques F de la surface S; la seconde famille s'obtiendra donc en cherchant les trajectoires orthogonales des circonférences F. Pour les obtenir, d'un point quelconque B (Jig^ 3) pris sur Oz, menons des tangentes BM aux cercles F, le lieu des points M sera sur la sphère de centre B et de rayon BO ; il coupera donc normalement les génératrices du cône circonscrit à la surface et de sommet B; il en résulte que la seconde
famille de lignes de courbure sera située sur une famille de sphères tangentes, à l'origine, au plan xOy. Cherchons
Fi g. 3.
l'équation de leur projection sur ce plan; on a
Om = R = r(i -H cosçp); d'ailleurs X^= OB étant le paramètre variable,
d'où
r = X tang î ,
Solution analytique. — Une sphère passant par la circonférence F aura une équation de la forme
x^-hy^-\-z^^ lax — iby = o,
dans laquelle les coordonnées a et 6 du centre de la sphère sont
artrcosô — psin6, 6 = rsinÔ -+- p cosô;
pour avoir les caractéristiques de l'enveloppe de cette famille de sphères, dans l'équation de laquelle la distance
p du centre de la sphère au point C doit être fonction de 8, il faut, à Téquation de la sphère, joindre sa dérivée
et pour que le cercle ainsi déterminé soit le cercle F, il suffît que la droite précédente coïncide avec OA, ou que
a'cosG H- 6'smô = o;
dr cette équation se réduit à p =-jr, c'est le résultat précédemment trouvé.
Nous obtiendrons les trajectoires orthogonales des cercles F, en écrivant les équations de la surface S en coordonnées curvilignes 6 et <p,
a? = r(i-h costp)cos6, ^ = /-(i -4- coscp) sinô, 2 = rsin<p,
d'où, en général^
dx = — rsincp cosGrfçp + (i-h coscp) ( -j^ cos8 — rsinG j rfO,
dy = — rsincp sinôrfcp -f- (n- coscp) l ~jr sinG H- r cosô j rfG,
dr dz = r cosçc/cp -4- -^sincprfG,
et en se déplaçant sur le cercle F,
Sa? = — rsincp cos 6 Sep, Sy = — rsincp sinô Sep, Sz = r cos cp Sep ; la condition d'orthogonalité
dxZx -t- dy^y -4- rf-sS>3 = o devient, après suppression du facteur r8'^,
rd(^ — <f r sin o = o ,
d'où
r = A tang ^;
cette équation finie détermine la seconde famille des
lignes de courbure et permet, comme nous l'avons vu, d'obtenir Téquation en coordonnées polaires, de leur projection sur le plan des xy,
219. Déterminer les lignes de courbure de la surface qu'enveloppe le plan mobile
z = ux -\- vjr -^ w ^
dont les coej/icients u, Vj w satisfont à la relation
On démontrera que les deux familles sont planes quelle que soit la fonction ^(^v) et que Vune d'elles est formée de cercles.
Comment faut-il choisir la fonction (f(v) pour que le plan de ces cercles passe par une droite fixe?
(Paris, novembre iSgS, i" question.)
Les équations de la surface enveloppe de la famille de
plans à deux paramètres u elv s*obtiennent enjoignant
à Téquation proposée ses dérivées partielles relatives à u
et v^ et qui sont
en y joignant l'équation
z = ^r^-4-Q(p)— PCp^(p),
on a les équations de la surface en coordonnées curvilignes.
Les cosinus directeurs de la normale à la surface ne
sont autres que ceux du plan mobile
d'où
et l'équation différentielle des lignes de courbure
dyda — dxdh = o,
devient
r:f {v)dvdx = o;
d'où les deux familles de lignes x = const., v = const.
Les courbes de la première famille sont dans des plans parallèles kyOz.
Les équations des courbes de la seconde famille sont
?(c) — co'(c),
d'où, en éliminant w, les deux équations
y-\-CZ= C^(C) — (H-C2)<p'(c), X^-^ [y-h^'{c)y-h [Z —o{c) -|-C9'(C)]2 = 1,
qui représentent des cercles situés dans des plans parallèles à l'axe des x.
Le plan de chacun de ces cercles passant par le centre de la sphère correspondante, leur rayon est égal à l'unité et la surface considérée est à la fois surface moulure et canal; elle devient un tore si les plans des cercles passent par une droite fixe.
Cherchons quelle doit être la forme de la fonction o{i>)
pour que le plan de ces cercles passe par une droite fixe
il faut pour cela que cette fonction satisfasse à l'équation
linéaire
{i-h ç^)ff' (v) — r(p(p)-i-a-4- pp = o,
dont rintégrale est
cp(f^) = v/rT7^ fc— f ^^^^^ dv\ = p — ap -4- G v/r-Tp».
Remarquons enfin que si ^"{v) était nul l'équation différentielle des lignes de courbure serait identiquement vérifiée et toute ligne de la surface serait ligne de courbure. On aurait alors
o{v) = ap -t- p
et l'équation de la surface enveloppe serait
ipSH- (j^ -h a)2-t- (2 — P)2 = I
qui représente une sphère.
220. Une surface est rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires, et les coordonnées x^y^ z d'un point variable de cette surface sont exprimées en fonction de deux paramètres u et v. On suppose de plus que l'on a identiquement
dx àx du dv
dx du
dx dv
ày dy du dv
ày
du
di^ d^y
dz dz du dv '
dz du
d z dv
du di^ du dv du dv
1** On démontrera que les lignes de courbure de
cette surface sont données par les équations
u = const. et p = const.
2° Dans le cas particulier où x=^ u^ trou\>er les expressions générales des fonctions y et z de uet {>, satisfaisant aux équations (i) et (2).
(Paris, juillet 1896.)
1° L'équation (i) exprime que les courbes u Ql v sont orthogonales, et Téquation (2) qu'elles sont conjuguées (*) : ce sont donc bien les lignes de courbure de la surface.
2° Dans le cas où ^ = w, Téquation (2) se réduit à
du ôv du âv
dy âz
qui, intégrée par rapport à u, donne
OU, en vertu de l'équation (i).
^-2 ày . .
èu^èu'^^'^^
substituant
dz , ày ,
dans l'équation (3), on a
^(l+(p2)-+-Cpcp> + Cpf =0
( » ) Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, I" Partie, p. 100.
78 PREHIËBE PARTIE. — CHAPITRE Y.
cette équation linéaire en /, étant intégrée, nous donne
ce sont les expressions cherchées.
L'équation (4), étant linéaire en y et z, nous montre que les lignes de courbure, ç^^iconst., sont planes et se projettent suivant des droites sur le plan des ^2; quant aux lignes de courbure, u = x =: const., de la seconde famille, elles sont situées dans des plans parallèles kyzel coupent normalement les premières dans l'espace et en projection. Les surfaces jouissant de la propriété énoncée, X =: u^ sont donc des surfaces moulures.
Pour faire ressortir que les équations (5), jointes à X = u^ sont bien celles d'une surface moulure, effectuons le changement de variable <j)(i^) = tangX, et posons, en appelant V une fonction arbitraire de \ qui remplacera la fonction ^,
j. = (U + V)cosX — V'sinX,
Téquation (3) s'écrit alors
^=-^ tangX = ( U -H V) sin X — Y' sinX,
z= f{l] -hY) cosl dl -+~ fv" cosl dk;
intégrant par parties, les termes en jY' sîn'kdk disparaissent et il vient
^ = (U H- V) sin X H- y cosX h- U,, dans laquelle U| doit être une simple constante, en vertu
de l'équation
dz dy ^
en y joignant l'équation
/ étant une fonction arbitraire, on a bien les équations d'une surface moulure sous leur forme ordinaire.
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8o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VI.
