LIGNES ASYMPTOTIQUES ET LIGNES GÉODÉSIQUES

^ 221. Lignes asympto tiques de la surface

(Paris, novembre 1892, 2" question.)

Nous emploierons, pourdélerminer Téq^iatioa différentielle des lignes asymptotiques d'une supace, une méthode généralement plus rapide que celles} précédemment exposées. |

On a, pour toute courbe tracée sur la surface,

d^z =/? d^x -h q d'^y -^ dp dx -+- d(j dyji

si donc on fait

il restera l'équation

dp dx -h dq dy = o,

qui caractérise les lignes asymptotiques d'une surface.

Les équations d'une surface étant, /par exemple, données en coordonnées curvilignes u et r, on égalera à zéro les trois différentielles secondes des coiordonnées, et entre ces équations on éliminera d'^u et d^'V^ ce qui donnera l'équation différentielle des lignes asymptotiques.

LIGNES ASYHPTOTIQLES ET LIGNES GÉODËSIQUES. 8l

Appliquons au conoïde z=f( — ]; en posant x ^= ii, j rzr uv^ z =f({^)^ il vicnt

d^y = 9. du dv -¥- u d* {f = o,

d^z =f{v)dv^-\-f\v)d^v = o,

d'où, en éliminant d-i^ et supprimant la solution d{> = o, qui donne les génératrices rectilignes du conoïde, Téquation

u^^cf'{v) ou x^ = cf'(^\ qui devient dans l'exemple proposé (n® 63),

y = Cx^.

222. Trouver les lignes asymptotiqiies du conoïde qui a pour plan directeur le plan des xy, pour directrice Vaxe des z et qui est circonscrit à la sphère

(Paris, octobre 1895, 2" question.)

Soit une génératrice j = a^:, z = b, du conoïde, ses points de rencontre avec la sphère sont donnés par

Téquation

qui doit avoir ses racines égales, d'où la relation entre

a et 6,

I — ^>2(i Ha2) = o;

éliminant a et b entre cette équation et celles des génératrices, nous aurons l'équation du conoïde

ViLLiÉ. — Comp. III. ■ 6

Les lignes asymptotiques, autres que les génératrices, ont pour projection, sur le plan des œy^ la famille de courbes

OU, en coordonnées polaires,

r2 = csinG;

ce sont des courbes semblables, symétriques par rapport aux axes coordonnés et dont les rayons vecteurs sont les racines carrées de ceux d'une famille de circonférences tangentes, à l'origine, à Taxe des x.

223. Trouver les lignes asymptotiques de la surface représentée par V équation

a et b désignant des constantes. Démontrer que ces lignes sont algébriques.

On pourra prendre pour variables, dans V équation

différentielle, z et —•

(Paris, juillet 1891; i^® question.)

L'équation proposée rentre dans le type

signalé par M. Jamet.

Nous appliquerons la méthode du n" 221, en posant

^ ^= u el X =z v\ on a

d^y = 2 du dx -\- X d^ u = Oy et, en différentiant deux fois l'équation de la surface, F''{z) dz^ =: X f (u) d^u -h 2f{u) dudx -i- X /"(u) du^;