Trouver les lignes asymptotiques de la surface

Démontrer que les deux familles se projettent y V une sur le plan des yz, l'autre des xy^ suivant des coniques,

(Paris, juillet iSgS; i^ question.)

L'équation diflerenlielle des lignes asympto tiques est, en coordonnées curvilignes,

dx du

ày

dz du

ày

— e-"'du^ e^-^{dç — du)^ e»du^ I ef-« i

elle devient, après suppression du facteur e*'~"(e"-i-<?~"— 2),

(dv — duy — du^= dv{dv — 7. du) = o;

d'où les solutions :

1" dv = 0, p = a,

ce qui donne, par Télimination de u entre y et 5, la famille de cylindres hyperboliques jk(^ -{- a) = e'^;

•2" ds> = 2 du, 'iu — V = bj d'où x -{- b =-

d'où y = e^-^ et enfin y{x -'r b) ^=. — e-^.

Cette dernière équation représente une seconde famille de cylindres hyperboliques.

225. On considère la surface engendrée par la révolution d^unecycloïde tournant autour de la tangente AS en son sommet S :

1° Déterminer les lignes asymptotiques de la surface ;

2^ Prouver que, si Von considère les deux surfaces engendrées par les révolutions de deux cycloïdes de paramètres différents, on peut faire correspondre les points de Vune à ceux de l^ autre, de telle manière que les méridiens de Uune correspondent aux méridiens de V autre, les parallèles aux parallèles, et que les arcs correspondants de deux courbes soient toujours

égaux,

(Paris, novembre 1891; 2® question.)