LIGNES ASTMPTOTIQUES ET LIGNES GÉODÉSIQUES

Les équatloDS de lacycloïde méridienne sont, en appelant u l'angle dont a tourné le rayon OM du point décrivant, depuis Forigine S {fig» 4)î

z = a(w-t- sin w), ' r — a{\ — cosa).

Fig. 4.

En désignant par 6 l'angle du plan azimulal avec le plan zOxj les équations de la surface, en coordonnées curvilignes u et 6, sont :

X = a(i — cosw) cosO, y = a(i — cosu) sin6, z = a(u-\- sin w).

i" De la relation

X dx -^ y dy — r dr

on tire, par différentiation, en faisant d'^x ::= d'^y = o,

rd^^-=d^r\

d'ailleurs

d^r = a{cosu du'^-\- ^mud'^u) = r d^-— a{\ — cos«/) c/O^, d'^z=^ a [ — sin u du'^ -4- ( i-H cos u) d'u] = o]

d'où, en éliminant d'^u^

(i — cosw)c/62= (

cos u H ) du^ = du-,

dzdd =

1 4- cosw du

/- . u y 2 sin -

11 résulte de cette équation différentielle que les deux familles de lignes asympto tiques sont symétriques l'une de l'autre par rapport à un méridien quelconque, et que toutes ces courbes s'obtiennent par rotation de l'une d'elles autour de l'axe de la surface ; ces propriétés sont d'ailleurs communes à toutes les surfaces de révolution. Nous prendrons donc l'une de ces courbes

6 = /2 log tang-j tangy = ev*'

elle part du point de rebroussement u = tz et est asymptotique au point équatorial ?^ = o; l'équation de sa projection sur le plan de l'équateur est

r = 2a sin^ — = 8a sin^ — cos^ — =

Les coordonnées d'un point de cette ligne sont, en fonction du paramètre 0.

Sacosô Sasinô

4 a I arc tang e

2° Pour établir que les surfaces engendrées par la révolution de deux cycloïdes de paramètres différents sont applicables , nous calculerons l'élément d'un arc de courbe

= «^ j [(n- cosa)2-Hsin2M]fl?a2-|-(T — cosa)2c/6* \

= 4 «^ ( cos* — du'^ H- sin*

in^^rfO^V