LIGNES ASYMPTOTIQUES ET LIGNES GÉODÉSIQUKS

les deux surfaces de paramètres a et a\ seront applicables si Ton a simultanément

U Ml ,

<2 cos - aw = ai cos — du\.

a sin* — rfG = a, sin^ — d^^ ; 2 2

en intégrant la première, nous aurons la loi de correspondance des parallèles

a sin — = «1 sin — > d'où ar = ^i ri ;

la seconde devient alors

6^ ç?Oi ^ Oi .

c'est la loi de correspondance des méridiens.

226. Trouver les lignes asymptotiques de la surface représentée par l'équation

02 "^ "^ "^ ^ ^ ^"^ a^bi'

a, 6, c désignant trois constantes,

D ans V équation différentielle entre x et y ^ on pourra faire le changement de variables

= uv, <^ Y = - •

(École Normale, 1892; i*"® question.)

La surface donnée admet les plans coordonnés comme plans de symétrie; on peut écrire son équation sous la forme

on reconnaît ainsi qu'elle est coupée par le plan des xy suivant quatre droites a: = =i=a,^==dz6; les sommets du rectangle qu'elles forment sont quatre points coniques de la surface.

Le plan des xz donne Tellipse — H — i =^ * î VowX. plan

parallèle y ^=h donne une ellipse ou une hyperbole suivant que A^6. Les plans parallèles à celui des ^^ donnent également des ellipses ou des hyperboles. Le plan passant par O^ et un sommet quelconque du rectangle des droites singulières, par exemple, le plan

donne les deux paraboles

Enfin , la section par un plan z =^ k donne quatre branches asymptoliques aux projections des droites singulières et, de plus, û k <C,c^ une courbe fermée intérieure à ces droites; quand A^ croît, cette courbe est de plus en plus petite, tandis que les branches infinies s'éloignent de leurs asymptotes.

Nous pouvons, dans la recherche des lignes asymptotiques de la surface, simplifier légèrement l'écriture, si nous remarquons que, les propriétés de ces lignes étant essentiellement projectives, leur recherche se ramène à celles des lignes asymptotiques de la surface

Prenant les dérivées logarithmiques successivement par rapport à ;r et j^ on a

z dp

— p dz

z dq

— q dz