LIGNES ASYMPTOTIQUES ET LIGNES GÉODÉSIQUES
d'où, en dilTérentianl totalement,
dx^
z^ {y^—if '^'
Multipliant respectivement ces équations par dx et dy, ajoutant et tenant compte de l'équation différentielle des lignes asymptotiques, on a l'équation
dz^ ^'-Hi , j ^^'^^ r7 2
or, des équations donnant/? et q on tire
dz X dx y dy
Remplaçant dans l'équation qui précède, on a l'équalion différentielle de la projection des lignes asymptotiques, sur le plan des xy^
dx^ dy^ ixy dx dy
(J?^'— 1)2 "^ (^y'I—xf ~ (372— l)(j^2— 1) *
Pour intégrer cette équation, nous effectuerons le changement de variables indiqué; on a, en prenant les diff'érentielles logarithmiques des formules de transformation
d'où
du u
dv
idx
du u
dv \
idy 2 i
dx^ ^ dy^
du^
di>^
4 dx dy
du^
dv^
go PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VI.
ce qui donne d'abord
or
xy — I ?/ ( I -+- p2 )
xy ^ \ r ( I + M* )
d'où, enfin, l'équation différentielle en u et v^ dans laquelle les variables sont séparées,
Nous ramènerons cette équation à l'intégrale d'Euler en posant u = Ç^, v ^=7\^\ il viendra, en laissant d'abord de côté le double signe,
et nous appliquerons à cette dernière équation la méthode proposée par M. Darboux pour obtenir les formules d'addition des fonctions elliptiques.
Ec rivons les équations précédentes sous la forme
d\ dr\
d'oii
dp" di\^
= dt,
on a encore
d'où , en divisant ces équations terme à terme,
d'^^ ^d^T) > I d\ t, dr\\ d . v, .x
dt ^dt
LIGNES ÀSTMPTOTIQUES ET LIGNES GÉODÉSIQUBS. 91
et, en intégrant,
ou, en revenant aux variables m et i^ et rétablissant le double signe
Si l'on repasse ensuite aux variables primitives x et y, on trouve, pour l'équation de la projection sur le plan des xy des lignes asymptotiques de la surface proposée
(xy^abydz(a,y-ab)^ = l(^^^—^^j ,
\z= ak^i étant une constante arbitraire.
Remarque. — La méthode de M. Darboux s'applique encore sans changement de variables ; posant
on a successivement
= dti,
du^ ,« , dv^ ,„
i(çu''— uq") = (v — w)(i — Swt'), i{ç^u'^— Mîp'2) = 2ap(p— u)(i — wp),
d'où
vu" — uv" , , ,, I— 3ap 1 uv'-'rvu' us?' -h vu'
; , —{vu -h UV ) = }
vu — UV 2UV{l — UV) 2 UV I — UV
et, en intégrant,
vu' UV' V ^U(l-i- U^)± U^V{l -h V^)
^uv{î — uv) (i — uv)^uv
"" I — UV '
c'est l'équation précédemment obtenue.
