Par chaque point M de l^hélicoïde gauche

on mène dans le plan tangent une droite faisant avec la génératrice un angle 0(0 étant seulement fonction de u),

1° a, b et c étant les cosinus directeurs de cette droite, comment choisir la fonction 0(«^) pour que

a dx -^ b dy ~\- c dz^

relatif à un déplacement effectué sur la surface, soit différentielle totale exacte d^ une fonction p(«,p).

2° 0, étant déterminé par cette condition, dépend d^ une constante arbitraire k qui figure dans p(w, <'); démontrer que toutes les courbes définies par

-, — const.

ok

sont lignes géodésiques de la surface.

(Lille, juillet 1890.)

1° La condition pour que la droite considérée soit dans le plan langent est

fdydz dz dy\ , / \du dv du dv ] \

dz ôx dx dz du dv du dv

f dx dy dy dx\ "^ \du Cv du dv )

elle se réduit ici à

h{a sinv' — b cosr) h- eu = o,

à laquelle il faut joindre les relations

a cosp H- 6 sinp = cosO, a"^ -\- ù^ -h c^ = i .