LIGNES ASYSIPTOTIQUES ET LIGNES GÉODÉSIQUES

L'expression différentielle

a dx -h h dy -v c d^

= a (cosf -h b sins?) du -f- {bu cosp — au sin(^-i- hc) dv

devient, en vertu des conditions précédentes,

cos6û?M-h j {u^-h h^)di> = dp{Uy f);

d'ailleurs

-7-.- H- COS20 = rt2^ ^2 , c',

d'où

/isinO c

et - (Mî-h/îS) = sin6/w*T~iM;

or, pour que l'expression considérée soit différentielle totale exacte, il faut que le coefficient de di^ soit une constante k; la fonction 0(«) cherchée est donc donnée par Téquation

sin 6 = — - >

et Ton a

p(«, .) = ap -/^'- „,-!!-Âi '^"-

Si" Il nous reste à prouver que l'équation

k du

àp f* k du

= const.

représente les lignes géodésiques de l'hélicoïde ; pour cela, formons ds'^ (n° 147)

ds^'= du^-h(u^^h^)cli>^y \ = \/i-T-{u^'-^h'^)i>'^\ l'équation différentielle des lignes géodésiques

e^V d /àV Ov du \dv'

devient ici

= const. = A

équation qui se ramène immédiatement à celle que nous avons obtenue en posant

âp

-7 = const.

QUESTIONS DIVERSES. Q.l