CHAPITRE VIL

228. Trousser une courbe plane passant à Vorigine O, ayant en ce point Vaxe des x pour tangente, et telle que la relation

soit vérifiée pour tout point M de la courbe, R désignant le rayon de courbure en ce point et s Varc OM;

a représente une constante,

(Ecole Normale, iSgt; i" question.)

De l'équation donnée on lire

s ^ ^ Cl

a = 2arctanff — > 5 — atang-, R= .

On a encore

d'où

, , acosa<fa / , «2 aa7 = a5C0sa= =a| rfa i>

2 cos* -

X ■= a\% — tang-

g6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII.

, . asinarfa a ,

dy z= ds sm a = = a tang - aa,

2 cos* -

d'où

y = ia\o^— ^; cos-

ces valeurs de x et^ s'annulent d'ailleurs pour a = o

Pour a ^ -» ^ est maximum,

a; = a( ^ -I ), y = alog2;

X décroît ensuite constamment quand a croît de - à it, et

pour a = t:,

X = — oc, y = -Jr-cc,

La courbe est parabolique, car s'il y avait asymptote elle serait parallèle à O^ (a = tt); or, pour cette valeur de a,

Les valeurs négatives de a donnent une branche symétrique de la première par rapport à l'axe des y\ enfin,

l'équation R =: j- donne une courbe symétrique de la

précédente relativement à l'origine.

229. Etant donnés deux axes rectangulaires Ox et O/, et un point A sur Oy (AO = a), on demande de trouver une courbe tangente à Oy et jouissant de la propriété suivante : En un point quelconque M de cette courbe, on mène la tangente; soit P son point de ren- . contre avec Ox\ on doit avoir {Jig- 5)

MP — PO = [JL arc AM h- a,

[ji étant une constante positive donnée,

(Ecole Normale, 1898; 2® question.)

On a

=yy