IH
dx •^ dy
d'où l'équation différenlielle du lieu
dx^ dx
dy^ dy
Fig. 5.
Dérivons cette équation, y étant pris comme variable indépendante, il vient
dx d^x
dx^ dy dy^ d^x
dx^
dy^
dy'
dx
ou, en posant -j- = cota = p,
dp dp dy ^ [^ — I .
cette équation s'intègre une première fois et donne
et comme pour^ = a, /? = o, on a C = a* l^,
dy^ 7
dx^ aV-i—yV--^*
ViLLiÉ. — Comp, 111.
les variables se séparent et le problème est ramené aux quadratures
a * dx = "] dy,
{JL — 1 1 1
1 a~^ dx = ( iy\^-^ — aV--^ f dy — a^-' ( 2yV--^ - aH-"* ' dy.
Ces deux différentielles binômes ne sont inlégrables que si ou 1 — est entier, ce qui se résume dans la
condition unique que est un nombre entier n, ou
que [Ji est de la forme ^ = ; pour 11=^00^ u. = i , on
a l'axe des y,
230. On considère deux courbes C et F, dont les rayons vecteurs r et 0, correspondant à un même angle polaire 0, sont donnés par les formules
r-hp = e*^ , r — p = e J f(^',
f étant une fonction arbitraire de 0. Démontrer que deux rayons vecteurs quelconques issus du pôle interceptent sur les deux courbes des arcs égaux.
Prouver ensuite que tout couple de courbes jouissant de cette propriété peut être représenté par les formules précédentes. On déterminera enfin la fonction /(O) par la condition que le rayon vecteur r de Vune soit la même fonction de V angle 9 que la sousnornïale p' de Vautre, et Von déterminera les courbes
correspondantes,
(Paris, juillet 1892; 1" question.)
1° Si l'on désigne par ^ et <t deux arcs correspondants
des courbes C et F, il faut prouver que ds = d<T ou que
or en prenant les différentielles logarithmiques des équations données, on a les équations différentielles
dr-hdp ^,ft. ,ft dr — dp d^
qui, multipliées membre à membre, donnent immédiatement la relation qu'il s'agissait de démontrer.
2" Réciproquement, cette relation étant satisfaite, si l'on pose
on en conclut
dr — dp d^
intégrant ces deux équations, on retrouve les équations données.
3" A l'équation
dr^— dp^ = — (r2— p2) dQ^, si l'on joint la relation donnée dp = r rfO, il vient
dr^—p^d^^ = o, ^=±p ^ ' dd ^
ou
intégrant, on a les deux solutions
pi — ae^-h be-^, p2= a sin6 -t- 6 cos6, d'où, en tenant compte de la relation r = o\
ri = ae^ — be-^, ri = acosO — èsinô.
Les courbes ri et pi sont des spirales appartenant à la même famille; les courbes ^2 et p2 sont deux cercles de
même rayon -^ y/a^ -^ b^ , passant à l'origine et dont les centres sont sur deux rayons vecteurs rectangulaires.
La relation /(9) = ^- devient /(9) = i , quand les
courbes correspondantes sont des spirales*, quand ce sont des cercles,
^ (a-6)cose-(a.-^&)sia9 ^
•'^ '^ (a-4-6)cos6-+-(^a — 6)sinO °^ ^
en posant
a — b tanga = r*
