Etant donné un système de droites
X = az -\- p^ y z= bz -{- q,
oïl a, b^p et q sont fonctions de deux paramètres a et p, comment peut-on reconnaître si toutes ces droites sont normales à une surface?
La condition trouvée étant supposée vérifiée, comment déterminerait -on les surfaces auxquelles les droites sont normales?
On appliquera les résultats généraux au cas particulier suivant :
X = — Z-A-OLj y = — — r ;s -t- R.
(École Normale, 1890; 2® question.)
Nous pouvons considérer les coordonnées x^ y^ z d'un point de la surface comme fonctions des paramètres a et j3 et nous aurons, pour déterminer z^ l'équation
a dx -\- h dy -\- dz ^= o ou
{a da -\- h db)z -\- {a'^ ^ b'*' -^ i) dz -\- a dp -^ b dq = Q\
c'est une équation aux différentielles totales qui se sim-
QUESTIONS DIVERSES. 10 f
plifie si l'on prend pour fonction inconnue la longueur / de la normale limitée au plan des xy^
elle devient
, adp-h bdq
d'où, en faisant /? = a, ^r = p, la condition pour que les droites de la congruence donnée soient normales à une surface
^9 v/a2 -f- 62 -f- 1 "~ àp y/a2-^62+i '
quand elle sera satisfaite, la différentielle dl sera intégrable et son intégrale donnera la famille de surfaces parallèles répondant à la question.
Dans le cas particulier de l'énoncé, on a
v/a2-h62-i-i v/a24-62-hi
et l'équation de condition est vérifiée. D'ailleurs
rf/ = — (a 6/a -H p rfP), / = - ?l±lP!±^;
les équations des surfaces parallèles sont donc en coordonnées curvilignes a et p,
z= — ==r=— -v/i~a2-Q2(aî-|-32+c),
a2-f-p24^\ ^ / a2-hp2+c
Ce sont des surfaces de révolution autour de O^, car a^+P^, et par suite 5, est évidemment fonction de ^2^^2. on le reconnaît encore directement en remar-
quant que les normales données rencontrent toutes l'axe Oz,
232. On considère toutes les sur/aces dont les coor^ données rectangulaires vérifient V équation
dz dz /—■
dx '^ dy ^ ^
OÙ m est une constante donnée.
Trouver V équation en termes finis de ces surfaces et en déduire leur définition géométrique.
Démontrer qu^ elles admettent Vaxe des z comme ligne de striction. Déterminer les lignes asymptotiques de ces surfaces par leurs projections sur le plan des xy. Construire les courbes trouvées pour la surface dont
la coordonnée z est une fonction linéaire de — •
(École Normale, 1889; 2® question.)
1° Les équations simultanées à intégrer sont
dx dy dz x dx -\-y dy
"^ "" y ~ ms/x^-^y'^ " x^-^y^
d'où les intégrales
l'équation générale des surfaces considérées est donc
ou, en coordonnées cylindriques,
ce sont des surfaces réglées dont les génératrices coupen t Oz sous un angle constant X donné par la formule
colX = m.
QUESTIONS DITERSES. I03
a° Pour reconnaître que O^ est ligne de striction, c'està-dire le lieu des pieds de la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines, remarquons que le plan mené par AB (^fig* 6), parallèlement à la génératrice infi-
Fig. 6.
niment voisine A'B', est tangent au cône circulaire d'axe A^ et d'angle 2X; O^ se projetant sur ce plan suivant AB, la projection o! de A' est sur AB, en un point infiniment voisin de A; donc, à la limite, A est le pied de la plus courte distance.
Nous pouvons encore démontrer la proposition énoncée, en remarquant que la normale à la surface, au point central d'une génératrice, est perpendiculaire à la normale au point situé à T infini sur la même génératrice; or, la normale en A est perpendiculaire au plan tangent zk&\ il faudra donc prouver que la normale à l'infini est dans ce plan, ou qu'elle rencontre 0-3, c'est-à-dire que pour ce
point - = ^. Mais on a, en général,
et l'équation précédente est bien vérifiée pour ^ = 00, 3° L'équation différentielle des lignes asymptotiques
d'une surface, en coordonnées semî-polaîres, peut s'obtenir en différentiant les relations
X dx -\-y dy — r dr^ X dy — y dx = r^d^^
ce qui donne, en faisant d^x=^ d^y = o,
d^r = r <iÔ«, r ^«0 -f- 2dr û?0 = o,
puis en éliminant d^rei rf^Q entre ces équations et l'équation d'^z= o. Dans le cas actuel
d^z --= mû?2r -f-/'(0)^2Ô -f-/"(e)^62= o,
d'où l'équation différentielle des lignes asymptotiques
Après suppression de la solution rf9 = o, qui donne les génératrices reclilignes de la surface, il reste
dr
c'est une équation de Bernoulli qui devientl en posant
du d^
£ I /' m r d^ "--'r- s/fWA ^^J \/fW)
et le problème est ramené aux quadratures.
Soit, par exemple, la surface
z = mr -h a- -\- b = mr -\- a tang6| , -4- 6,
l'équation de la projection de ses lignes , asymptotiques sur le plan des xy sera A'
cos6 / ^ ^ ' il \ A/ / » • ft\
G r^sinô ) = cos6(c/ .— Arsmo).
Ces courbes sont symétriques par rapport à O^, car si l'on change 9 en t: — 9, r change simplement de signe; il suffit d'ailleurs de donner à c des valeurs positives, puisque si l'on change c en — c et 9 en 7r+ 9, on retrouve pour r les mêmes valeurs; les courbes fournies par les valeurs négatives de c sont donc symétriques des premières relativement à l'axe Aqs y,
Fig. 7.
Enfin m'est jamais nul, mais devient infini pour les valeurs suivantes de 9 :
smGi= y> 02= -> K 2
Stt
les valeurs correspondantes de la sous-tangente polaire rf, comptée dans le sens des angles 9 croissants, sont données par la formule
-^ = i-) = — sin ( c — A sin 6 ) — k cos* 6.
Au point de vue de la forme de ces courbes, deux cas sont alors à considérer :
c > A". — La courbe n'a que deux asymptotes (Jig^ 7) parallèles à Oy^ et les sous-tangentes polaires correspon-
dantes sont
du =
c<^k, — La courbe a quatre asymptotes; ^2 et d^ sont
positifs; rf| = — T^ <Co. Les asymptotes qui répon-
dent aux directions 9| et tt — O^ coupent la partie positive de l'axe des x à une distance OA donnée par la formule
sinOi c(A:2— c2)
or, pour 9 = o, r = OB = - << OA. : la courbe a donc la forme représentée {fig^ 8).
