AX-+-BY-+-CZ = D
la portion de ce plan située dans le trièdre des coordonnées positives fournit donc seule des points réels de la surface.
L'un au moins des trois premiers coefficients devant être de même signe que D pour que la surface soit réelle, un changement d'origine permet de mettre l'équation de la surface sous la forme
e^^ey±.e-= i, et il devient alors facile d'étudier les sections de cette sur-
face par des plans normaux à Oz, ainsi que par des plans azimutaux.
i** L'équation
donne, par différentlation,
ce qui montre que les coefficients directeurs de la normale à la surface sont Ae^, Be^, Ce^; l'équation
(2) Aae^-\-Bbey-i- Cce^= o
exprime alors que la normale à la surface est parallèle au plan
(3) ax -h by -h cz = o.
Le système des équations (i) et (2) donne donc la courbe F de contact de la surface et du cylindre circoncrit perpendiculaire au plan (3).
Si a', b\ d est un autre groupe de valeurs des coefficients a, i, c, pour que la courbe correspondante V soit égale à r et semblablement orientée, il faut et il suffit qu'on puisse les superposer en imprimant à F' une simple translation. Cherchons à déterminer cette translation, ou les composantes ^OîJKoî ^0 du segment OMq qui la représente. Les systèmes
( ke^ -i-Ber -}-Ce2 = D,
( Aae^H-B6er-{-Gce^ = o,
( Ae^-+-^o -^-Bey^y^ 4-Ce2-»-^o = D,
( Aa'e^-+-^o-hB6'er-»-ro-,- Gc'e--»-«o=o
devront alors être équivalents, ce qui arrivera si l'on a
d'abord
et si, en outre, la première des équations (5) est une combinaison des deux équations (4), ou, si elle est identique à la première des équations (4), diminuée de la seconde, préalablement multipliée par une indéterminée u ; cette identification donne
e^o = I — au = —, > ey'o = i — ou = -r,i e«o = i — eu = —•
a oc
L'élimination de u donne pour relations entre les directions des cylindres
d'ailleurs e^o = — ^ étant positif, on reconnaît que a', b',
c' devront avoir les signes respectifs de a, 6, c. De plus u doit être choisi tel que les produits au^ bu, eu soient inférieurs à l'unité. Ces conditions étant réalisables, les courbes F' formeront une famille dont F fait partie, et qui seront toutes superposables par translation.
Si l'on donne à -> r> - des valeurs particulières que
nous désignerons par — m^, — U2, — W3, on aura
u -h Ui U-{- Ui U-^ U3
et les équations de la courbe F' seront
Ae^-hBer -h Ce- = D, (7) {A B ^ C ,
u-\- Ui u-\- Ui u -h Ui
en faisant varier u on aura toutes les courbes d'une même famille.
2° La seconde des équations précédentes étant du second degré en u, on voit que par tout point {x^y^ z) de la surface passent deux courbes de la famille. Soient u'
et w" les deux valeurs de u\ les valeurs correspondantes de x^ y^ z satisferont au système d'équations linéaires en
A e^ -h B er -H G e- = D, Ae^ Ber Ce-
Ae^ Bey Ce^
— 1 — T, i — Tf = o;
U -h Ui U -h U2 U -h U3
en les résolvant, on a des expressions de la forme
(Wi — U2){Ui— W3)
et, par suite,
X = const. -+- log( w'-f- Wi)(w"-{- Wi), . . ., d'où, en désignant par Xi, y^^ z^ des fonctions de M|,
/ ar = 071 -i-log(w'-l- Wi) -H log(w"-|- Wij,
(8) I JK=JKlH-l0g(w'-{-M2)-+-l0g(w"-hM2),
( z = ^1 -h log(t*' -h W3) -H log( w" -i- M3).
Telles sont, en remplaçant u! et i/' par des paramètres t et «, les équations de la surface en coordonnées curvilignes. On peut, d'ailleurs, exprimer d'une infinité de manières les coordonnées d'un point de la surface en fonction des paramètres u' et m", puisque a, 6 et c étant arbitraires, il en est de même de u^^ u^, ih*
3° La surface peut être considérée comme engendrée par la translation d'une courbe u' avec une courbe lé' comme directrice, mais alors une quelconque des courbes u! est courbe de contact de la surface avec un cylindre dont les génératrices sont suivant les vitesses de translation des différents points de la courbe, ou les tangentes aux courbes directrices w", ce qui prouve que les courbes II! et u!' sont conjuguées. On le voit d'ailleurs directement
si l'on remarque que les équations de la surface vérifient identiquement l'équation qui exprime que ces courbes sont conjuguées (n°2H).
4** L'enveloppe de la famille des courbes représentées par les équations (7) est donnée par le système
Ae^ -i-Ber-h Ce^ = D,
Xe^ Bcy Ce^
Ae^ Bey Ge^
{U-hUi)^ (u-hUi)^ (u-hUi)^
on en conclut que la seconde équation admet une racine double, u' = u'% ou encore que la courbe u^ se confond avec sa conjuguée u", ce qui est le propre des lignes asympto tiques.
Les équations des lignes asymptotiques seront donc
z = Zi -h 2log(w -H W3).
5° Si maintenant nous appelons w' et u" les valeurs de u en deux points M' et M" pris sur une ligne asymptotique, le milieu de la corde, M'M'', aura pour coordonnées
X = Xi-^ l0g(w' -I- l/i) H- l0g(w"H- Ml),
y =71 -+- log(w' H- W2) -+• log( u" -h ^2),
Z = Zi -i- log(w'-f- W3)-hl0g(w"H- W3);
ce sont les coordonnées mêmes d'un point de la surface.
»*Sfr.
