ÎTZll = O
et le problème revient au calcul d'un seul résidu. Nous l'obtiendrons en formant
/(-i-hA) =
= — ma (i-H/n-...)»
8A2(i — 2/1-4-...) Hh^
d'où
I , Tzi
u. = et 1 = — •
Remarque, — Le résidu d'une fonction algébrique f{z)^ relatif à un pôle 5 = a d'ordre n, est donné par une formule générale très simple; posant
et développant cp(a + A) par la formule de Taylor, on aura évidemment
mais les calculs qui donnent <pf'*~*^ (a) sont généralement plus compliqués que ceux auxquels on est conduit par une recherche directe, surtout si n > 2.
effectuée le long de la circonférence de rayon | ayant son centre au point 2 = 0, en mettant au départ le
signe + devant le radical \/ \ — z,
(Rennes, juillet 1888.)
La fonction à intégrer est uniforme sur le contour et à son intérieur, puisque le point critique <s = 1 est extérieur
ViLLiÉ. — Comp. lil. 8
Il4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
au cercle; elle devient infinie pour
— idi5
^ y/6 = v/i — Zj
la racine z=^ — ^ ne convient pas, car elle satisfait à
l'équation c y/6 = — y/i — z\ il reste donc le pôle ^ = |. On a
fiz\ = ^ ^ >gv/6H-v/i — ;5
/^v/ô -H v/i — -îîX ^ 4 Z'^'
et, enfin,
236. La lettre z désignant une variable imaginaire, calculer la valeur de V intégrale
Si
z dz
le long d^une circonférence ayant V origine pour
centre*
(Paris, novembre 1893 ; '2* question.)
La fonction à intégrer a une infinité de pôles situés sur l'axe des j^, à la distance ikiz de l'origine; pour calculer le résidu ^k relatif au pôle ikizi^ il faut former
ikizi-k- h f h^ \-ï
'y.kizi -\- h
SOUS cette forme, on reconnaît que tous les pôles sont
VARIABLES IMAGINAIRES. Il5
quadruples, sauf le pôle ^ = o qui est triple, et que leur résidu commun
Si donc la circonférence d'intégration a son rayon compris entreaA'Tret 2(k -\- i)tz^ il j aura 2A" + i pôles à son intérieur, d'où la valeur de l'intégrale cherchée
237. Calculer les intégrales définies a et b étant réels et positifs, en partant de Vintégrale
^ — YjT dz prise le long de contours imaginaires.
(Montpellier, juillet 1890.)
Soit C un contour formé des parties positives OA, OB des axes coordonnés et d'un quart de cercle AB de centre O, dont nous ferons tendre le rajon r vers l'infini, nous aurons
Les pôles de la fonction à intégrer sont
z = ±.hsf%i^ = ±6/26^'? = ±b(i± 0;
un seul, le pôle simple b(i -\- e), est contenu dans le contour d'intégration; le résidu correspondant a pour valeur
g-ab
e—ab
{cosab -f- îsinab) (i — 3 i — 3 -\- i)
-rr-r^ Tsin ctb — cos ab — il sin ab -h cos ab )1 ,
Il6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
d'où
I = 2 7tt(jL = -TTjj- [sinaô 4- cos ab -h i(sïnab — cos ab)]
Calculons la seconde expression de I. L'intégrale prise le long du quart de cercle AB est nulle, car le module de e^^^ est ^-«''si^Q qui tend vers zéro quand r tend vers l'infini puisque a et sinÔ sont positifs. On a donc
i=(OA)-H(BO)= r f "^f,+,- r^îL^y
/" co%axdx . /'"e-"^ — ûrxax ,
et, en égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires des deux expressions de I,
cosaxdjû Tze-^^ , . , -^
— 7Tr= Q , , (sina6-Hcosa6),
r Tyr dx = —r-j-— ( COS ttO — Slll ab ) ,
|j ar* 4- 4 6* 8 £>3 ^ ^
