Étant donnée V intégrale
f27r /(sina?, cosx)dXj
oi^ / représente une fonction rationnelle de sin^r et cos^r, o/i /«^ra d^abord la remarque que le changement de variable e^^ = z ramène la recherche de i à V intégration dhine fraction rationnelle prise dans le plan de la variable z^ le long d'une circonférence de rayon i \ on peut par suite en déduire la valeur de V intégrale.
Appliquer au calcul de l'intégrale l - — -^ ^
•cosa?)
désignant une constante positii^e supérieure à l'unité.
(Paris, juillet 1891 ; 2® question.)
La formule de transformation
z = e^^ = cosa? -h i sina?
montre que quand x varie de o à 27r, z décrit entièrement la circonférence ajant l'origine comme centre et un rayon égal à l'unité.
On a encore
- dz cix = --r- »
iz
Qîx^Q-ix 1-4-^2 . e^^ — e-^^ z^ — I cosa? = = > sin a? = ; = -. — :
2 1Z 11 iiz
la transformation est donc rationnelle. Appliquée à l'intégrale proposée, elle donne
/' i±^! dz 7.iz^ 2 r {\-^z^)dz
/ I + z^ y ~ ïj^ (^^— 2 as -t- 1)2"
La fonction à intégrer a deux pôles doubles situés sur O.c,
le premier seul est intérieur à la circonférence C; pour obtenir le résidu jji correspondant, il suffît de poser
et de calculer le coefficient de -r dans le développement de
[(^ — c)-2— 2(6 — C)-3Ah-...],
d'où
Il8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE HII.
et enfin
, , STz(l-hbc) 2TZ
Le calcul de cette intégrale peut encore se faire en posant, conformément à la méthode générale, tang — = ^, d'où
dx = T^ cosa? =
et
r'^ cosxdx /** {\ — t'^)dt
OU, en posant A'^ = ,
j=t— r"iizLi!)f
(l— «2)rf^
4 r /- dt /-' <2^^ 1
"(«-04Jo ^ + >^'^' ^'"^ Vo (l + A-2^2)2j'
intégrant par parties, il vient
J^ (H-Â:2<2)2 ~ ""^Vi -h X:2 ^2/^, "*■ 2X:2j^ n A:2^2 " 2X:"3 2' On a donc finalement
