Trouver la valeur de V intégrale

'''^ X dx

~ Jo sin2(a7 — a)

oà a désigne la quantité complexe p -{- iq.

On commencera par effectuer une intégration convenable par parties et Von fera attention à ce que la forme du résultat varie avec le signe de q.

VARIABLES lUAGINAIRES. II9

Du résultat précédent déduire la valeur de l'intégrale

J= / a7COt(a7 — a)dx,

dont la dérivée par rapport à a est manifestement l'intégrale I. La détermination d'une constante restant inconnue se fera en donnant à a la valeur A, X étant réel et infiniment grand,

(Paris, juillet 1892; 2® question.) 1" On a

1 = — [a?cot(a? — ^)]q-^ I cot(a7 — a)dx

= 'ircota-i- / cot(a7 — a)dx.

Pour calculer cette dernière intégrale, prenons un rectangle d'intégration dont la base 0A = i: soit dirigée suivant O a: et dont nous ferons tendre la hauteur AB=: A vers l'infini; les intégrales de la fonction col{z — a), prises suivant les côtés verticaux AB et CO, se détruisent, la cotangente admettant iz pour période, et il reste, en appelant [JL le résidu relatif à un pôle contenu dans le rectangle d'intégration,

Jf cot(iJ7 — a)â?a7-H (BG) = 2irt XfjL.

La fonction à intégrer

f(z) = cot(;5 — a) = -: — 7 7^

•^ ^ ^ ^ ^ sin{z—p— iq)

a pour pôles les zéros du sinus

z = kiz-k-p -h iq ;

soit d'abord q> o^ ^^J^ alors un pôle et un seul dans le rectangle d'intégration, et ce pôle est simple puisque la

valeur correspondante de z n'annule pas la dérivée du dénominateur; le résidu correspondant |x = i.

Calculons Tinlégrale (BC); le long du côté BC, on a

et la fonction à intégrer est

ff-{h—q)-{-i{x—p) ^ ^h—q—iix—p)

sa valeur se réduisant à — i pour h = oo, on a

(BG)= / — idx^^iiz.

Si 5^ <; o, il n'y a aucun pôle de/(5) dans le rectangle d'intégration, de sorte que

I cot(a7 — a

) e/a? = zh ITT et I = 7c(cota ih i),

suivant que ^'^o.

On peut encore arriver à ce résultat par une intégralion directe

1 cot(a7 — a)c?a? = [logsin(ir — ;a)]J;

cherchons quelle est la trajectoire du point d'affîxe 5 = sin(a: — a) quand x varie de o à u : i

z = X-i- lY = sin(a7 — p)cosiq — cos{ûsl—p)sirïiqf

X = sin(a7 — p)chqy Y = — cos(i7 — p)shq

et I

ch^q sh^q ' j

la trajectoire est un arc d'ellipse partant du point Xo = — sinjochgr, Yq = — cospshç',

pour aboutir au point diamétralement opposé; (log-s)^ a donc pour valeur lii iiz suivant le sens du parcours de celte demi-ellipse. Pour reconnaître ce sens, on a, en appelant 6 Targument de z,

tango = — = — cot(a7 —p) thq,

d'où

c?6 ihq

cos*0 "" siii*(a7 — p) '

et, comme dx est positif, ihq donne son signe àrfO; si donc 5^^ o, 6 croît et la variation du logarithme est lit; elle est — lu si 5^ < o.

2** Considérons maintenant l'intégrale

J= I a7C0t(a: — a)dxy

on a

dJ r oc dx

dô r X dx ^ - ,, . , .