Soit^ en désignant par a une constante réelle
sin (a? — z^dz cos ia — cos(a7 — z)
On demande de déterminer, pour e infiniment petit,
la différence
f ( ia -h i£ ) — /( ia — le).
(École Normale, 1891; 2* question.)
nous in-
Pour calculer l'intégrale /(:r) = / o{z)dZj
tégrerons la fonction ^(z) le long d'un rectangle OABCO de côtés parallèles aux axes, dont la base OA^air et dont nous ferons croître indéfiniment la hauteur AB= h.
Désignant par [jl le résidu relatif à un pôle de cp (;;) contenu à l'intérieur du rectangle d'intégration, nous avons
(0A)-h(AB)-t-(BG)-t-(C0) = 27:i2fji;
or
(OA)=f{x) et (AB)-h(CO) = o,
en vertu de la périodicité de la fonction ç(>3),' il reste
donc
/(^)-4-(BC) = 27riSfjL.
Les pôles de f{z) sont
z = ikTz-\-xdzia = ikTz-\-u-\-i(v± a),
si l'on pose œ=u-\-ii>; nous n'avons pas à examiner d'ailleurs le cas où u étant nul les pôles seraient situés sur les côtés AB et GO, puisque
o{z)dz= j ^{z)dz.
YARIABLES IMAGINAIRES. 123
Tous ces pôles sont simples, car en ces points la dérivée du dénominateur de ff(z) ne s'annule plus; ils ont d'ailleurs tous pour résidu — i .
Calculons (BC) ; pour un point de cette droite 5 = X + ih et(f(z) devient
lim
sin(^ — X) cosih — cos(a7 — X) s'inih
h=» Costa — [cos(a7 — X) cosih -h sin(a7 — X) sin^AJ
ou, en ne conservant que les termes en e^,
sin(a7 — X) — icos(x — X) i — cos(a7 — X) — t sin(a7 — X) ~ t'
d'où
(BG) = — ^ / dl = — 2711.
On a donc
f(x) = — i{n — i)Tri,
n représentant le nombre de pôles de la fonction ^{z) situés à l'intérieur du rectangle.
Divers cas sont alors à distinguer suivant la valeur de la partie imaginaire de x; la constante réelle a pouvant toujours être regardée comme positive, on peut avoir
1" ^>«; /i = 2, f(x)= — 27rt,
3® <^<a; /i = o, f(x) = 2.TzL
On voit que les parallèles à l'axe des x situées aux distances ± a de cet axe sont des coupures de la fonction /{x). Dans le problème dont il s'agit, /(«a -f- is), poure positif, rentre dans le premier cas et /{ia — it) dans le second, de sorte que
f(ia-{- ie) — /(id — i^) = — itzL
