Trouver la valeur de V intégrale

^îlog dz

prise dans le sens direct le long d^un cercle décrit de

V origine comme centre, avec un rayon supérieur à

V unité.

(Paris, juillet 1896; 2* question.)

i*''' Méthode. — Intégrant par parties, on a

le terme tout intégré est nul; quand, en effet, la variable z décrit un cercle de rayon r>> i, les arguments de ^ + i et de -3 — I augmentent de 2 7t, et l'on a

[l0g(^ -\- [)]c = [log(5 — l)]c = 211/.

11 reste donc

, 2 r z^ dz \ r z^ dz I r z^ dz ^ - 3 J^ ^^^i - 3 X ^^ ~ 3 j^ ÏT"i '

chacune de nos fonctions à intégrer n'a qu'un pôle simple, intérieur au cercle G, le résidu correspondant étant i pour la première intégrale et — i pour la seconde, on a

2^ Méthode. — Soit, plus généralement, m étant entier, j

l = I z^ loff dz ;

Je. ^-'

posons z = re^^= - ? la variable u =: -e^'"^ décrira, dans le sens inverse, une circonférence de ravon - inférieur à

l'unité, de sorte que C! désignant ce comtour décrit dans

le sens direct, ,

j f du . I H- M ^

or, le module de u étant inférieur à l'unité, le logarithme est déveioppable en série uniformément convergente, et

l'on a

r du l u> m5 \

Jc'""*"^*\ 3 5/

Si m est négatif ou s'il est impair, les intégrales de tous les termes sont des fonctions uniformes et I = o. Soit m = 2/1, I se réduit à

. C du a*«+-i ^Tzi

^ ll\n-¥l 2 /1-+- I 2 /IH- I