u expression (v(5)= ^- — ^- (arctangz)^ a

une détermination w^ (5) quiy pour z très grand, est

très voisine de -^» Calculer la valeur de l'inté^^rale

JiVi (z) dz étendue à un cercle de grand rayon ayant l^ origine comme centre.

(École Normale, 1894; 2* question.)

D'après la détermination choisie, on a

arc tang-s = arc tang - ,

ce dernier arc étant celui qui s'annule avec -; posant alors

il vient

*^i(^)-^j-p-|^ ^^ -arctangz^y = (p(M);

or, quand z décrit le cercle C, u décrit en sens inverse un cercle C de rayon plus petit que l'unité (n^* 2H); on a donc

Cw,(z)dz= f^du,

; cherchée a donc pour va-

i(z) une fonction double l à l'équation

Ire constantes), on forme

mu dz

is tant es. On demande de lie manière que V exprèsune fonction de Zj holo-

Normale, 1892 ; 2' question.) le dans chaque parallélo-

gramme des périodes, mais il est double (*) et son résidu est, par suite, nul. Soit ^ = a un pôle, dans son voisinage ; u peut s'écrire

substituant dans Téquation différentielle, on aura {z — ay * J

égalant les coefficients de {z — a)~® dans les deux membres, on a

4a2= Aa3, a= I-.

Si nous considérons l'intégrale

X, ma mu dz =1 r- termes entiers en z, z — a

qui admet comme points singuliers les pôles de u, une seconde intégration introduira le terme logarithmique

— /nalog(;5 — a);

si donc

— ma = I ou m = ,

l'exponentielle sera holomorphe dans le voisinage de z=ia et admettra a comme racine simple.

La fonction

G(z) = e '* Jz^ " Jzo " est une fonction entière; elle a pour racines simples tous

(*) E. Picard, Traité d'Analyse j t. II, p. 337.

les pôles de u{z) et n'en a pas d'autres; le produit

w(^)G'(-s) = Gi(^)

est une fonction entière puisque les pôles doubles de ^(5) sont racines simples de G(^). D'ailleurs, les fonctions entières G et G^ n'ont pas de racines communes, puisque les seules racines de G sont les pôles de u et que G| n'admet plus ces racines.