Soit z une variable complexe, l{z) l'intégrale
-"-^tl:^:tlfi±lf! rf^ ^ G.
Posons
(p(s)=eJ(-) et F(^) = cp(z) -h
i" Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes que doivent vérifier G et les coefficients a, p, y, 8 pour que la fonction F{z)soit uniforme dans le plan?
2® Quelles conditions faut-il ajouter pour que F(s) se réduise à une fonction rationnelle de zl
(Paris, octobre 1896; 2* question.)
i*' On a d'abord
où
dz multipliant ensuite par - — ^— , nous aurons à considérer
yi — z^
VARIABLES IMAGINAIRES. I2g
les quatre intégrales
/dz , = — arc C0S.5,
/dz . ï — i/j — z^ , z I, I — \/i—z*
/dz ^ / z -h i
et
Elles admettent toutes les points singuliers zt i ; de plus z = 00 est point singulier de la première et 5 = o de la deuxième.
Soit alors l'intégrale indéfinie
j , I— /i — 52 a + Y-h(P-+-8)3 = 8 arccos^ h- a log 1 ' '^ — — = f{z)^
on a
y(4) étant la valeur que prend f{z) lorsqu'on part de 5 = 4 2tvec la détermination \ji — 5- = + ^ y/i5.
Voyons maintenant ce que devient J(^) quand on contourne les diflerents points singuliers.
^ = 00 n'est point singulier que pour arc cos>s et le passage de z par l'infini revient à contourner à la fois les deux points ±: i, ce qui augmente /( 5) de 2 7t8. La fonction F(z) devient alors
gj 4- 2710 | g— J —2710
et pour qu'elle reprenne la même valeur il faut que ^27rô = I, ou 8 = ik' ^ k' étant un entier quelconque.
ViLi^iÉ. — Comp. IIF. 9
l3o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
^ = n'est un point critique que pour log 7^=-
qui, lorsqu'on contourne ^ = o, augmente de iizi : f{z) augmente donc de l'izoii et pour que ^{z) ne change pas il faut et il suffit que a soit un nombre entier k.
Restent les deux points critiques dzi. Contournons d'abord le point + i ; on voit aisément qu'en contournant ce point
or
(arc cosz)\ = — arc cos4, (arc co^zy^ = arc cosz ; 8(arccos^ — arccos4) devient donc — S (arc cos-s-harc cos4).
On verrait de même que
devient
et
devient
a [ log ^ — log -=z )
\ i-f-y^i — z^ i-k-i^ibj
— a (log 7=~ -*- log ^7=^
a-4-Y-h(p-h8)-3 a-hY4-4(pH-S)
11 en résulte que
f{^)-fW devient /(z) 1-/(4),
il faut donc, et cela suffit, que aC — '^/{i) = iniTz ou C =:/(4) -h /iiTî, n étant entier.
Pour le point — i, on aura de même
VARIABLES IMAGINAIRES. l3l
( arc cos^)~* = ir — arc cos 4, (arc cos;;)^^ = arc cosz — ir ; ^(arccosz — arccos4) devient a7:8 — 8(arc cos>5 -t- arc cos4);
remarquant que log — i = iiZy on voit de même que
devient
« f log L-v^Ef! - log \-i^ \
2\ i-^/i — 5* i-hi^i5j
a/, I — v^i — -3* , i—i\/i5 i(XTzi (log 'r- log
et
-hY-+-(P-+-o)z a -h Y-+-4( P -^ 8 )
V^i — z^ iyj
devient
[a 4-Y-f-C3-f-8)2 a-+-YH-4(P-i-8)"| v/i — -3-^ i /Ts J
d'où l'on conclut que
/(^)-/(4) devient -/(^) -f. 27r{S + aO-/(4); la condition précédemment trouvée est remplie, car
En résumé, pour que la fonction ¥{z)=^ e/^^^ + e~f^^^ soit uniforme, il faut que l'on ait
0L=k, Z=zik\ G=/(4)-+-/iiTr.
2° Cherchons maintenant quelles sont les conditions complémentaires que doivent remplir les coefficients pour que la fonction F (5) soit une fraction rationnelle : il faut, pour cela, qu'elle n'ait que des pôles à distance (inie ou infinie, mais en nombre fini; cette dernière condition est remplie, car nous reconnaîtrons que les points zéro et l'infini sont des pôles d'ordres k et k' . Mais les deux points ±: i rendent infini le dernier terme, et bien que son degré d'infinitude ne soit que | dans/(>5), il de-
l32 PREMIÈRE PARTIE. — CHAP. YIII. — VARIABLES IMAGINAIRES.
vient infini en exponentielle, c'est-à-dire dans o{z) et F(;5), et ces points deviennent singuliers essentiels. Il faut donc que le dernier terme disparaisse ou que
Ces conditions sont, d'ailleurs, suffisantes, car f(z) se réduit alors à
f(z) — arc cos z -h a log
— ik' arc cos^ -+- k log
or
arc cos z — - log {z -h ^z'^ — i) ,
d'où
/( . ) = log [(. + ,/5rrT).' (izivJEZy ]
comme on peut écrire yjz'^ — i =iy/'i — ^^, on voit que cp et - sont conjugués par rapport au même radical
^i~-zK
Développant chaque terme par la formule du binôme, les termes où le radical est à une puissance paire sont
égaux et de même signe dans <p et -> de plus ils sont rationnels; ceux où il est à une puissance impaire sont égaux et de signes contraires, et disparaissent dans
F =rz CD H La fonction F est donc bien rationnelle en z.
CINÉMATIQUE.
