CHAPITRE PREMIER
135. TJn point mobile M, dont la trajectoire est une chaînette, passe au sommet A avec une vitesse égale au paramètre a de la chaînette, et le rapport de son accélération centripète à V accélération tangentielle est constamment égal au rapport de a au double de Varc de chaînette AM. Calculer la longueur de cet arc et V accélération totale du mobile en fonction du temps écoulé depuis le passage du point M e/i A.
(Gaen, juillet 1888.)
On doit avoir, d'après les données,
K''~dt~"^s' ou, en tenant compte deR=^et5 = a tang a,
dv , , 2sinacosa<fa — =! 2 tanga d<x = ;
intégrant, et tenant compte de (^0 = a, ao = o, on a
V cos^a = const. = a; d'ailleurs,
ds a dcf.
dt~ ~ cos^a dt
l34 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
d'où, enfin,
doi.
la longueur de l'arc AM, exprimée en fonction du temps,
a donc pour valeur
s = atang^.
On a encore
__ ds^ Ci dç __ias,\nt t> ^^ ^^
~~ dt cos^^ dt ~ cos^i * ~ doL ~^ di '
d'où l'expression de l'accélération du mobile
, /V'* dvY « / ;
136. Une file de points matériels indépendants a la forme rectiligne hAl à une certaine époque prise comme origine du temps, Uun quelconque M de ces points se meut vers un centre fixe unique O (fig-g) (dont on donne la distance c à AA'), avec une vitesse qui est sans cesse en raison inverse du carré de la distance actuelle r du point au point O, ou qui a pour expression
— j k^ étant une même constante pour tous les points.
Etudier les formes successives que prendra la file
jusqiUau moment où son point le plus rapproché du
centre O V atteindra.
(Paris, novembre 1894.)
La vitesse v du point M ayant pour expression
^~ dt~ r2 '
on a, en intégrant,
c'est, en coordonnées polaires, l'équation de la famille
des courbes cherchées, t étant le paramètre variable d'une courbe à l'autre.
L'abscisse x est donnée par la formule
x^ = c3 — 3 A:2 ^ cos3 6 ;
elle est minimum pour le poiot B. Ces courbes sont asymptotiques à la droite AA'; enfin, pour le point = o,
r s'annule à l'époque ^ = -^-j et l'on a, pour la courbe
correspondante du lieu des points M,
