Soit

I I.ti 1.2. ..(Al l)

on demande de démontrer que V intégrale

-^dx

n^aura de valeur finie et déterminée qa^en supposant a négatif et compris entre i — n et — n.

Cette condition remplie^ on propose d'établir que J = r(a) et Von emploiera dans ce but la relation suivante :

i ( e--^ — X ) D « a7«+«-i dx.

(Paris, novembre 1891, T" question.)

Pour que l'intégrale considérée ait une valeur finie, il faut d'abord que pour ^ = 00 la fonction à intégrer soit un Infiniment petit d'ordre supérieur au premier ; or,

quel que soit a, — est infiniment petit d'ordre supérieu r

à toute quantité donnée, il reste donc à étudier la fonction algébrique X^"~* dont le degré n -i- a — 2 doit être inférieur à — 1 , d'où une première condition a<^ 1 — /? .

Pour étudier la Hmile inférieure, nous mettrons J sous la forme

la parenthèse se réduisant à Tunité pour ^ = o, pour que le degré d'infinitude de la fonction à intégrer soit inférieur à l'unité, il faut que

— a — n + i<i, ou a> — n,

c'est la seconde condition.

Ces deux conditions étant remplies, nous remarquerons que la relation indiquée est une identité et nous considérerons l'intégrale

en l'intégrant par parties, il v^icnt

or le terme tout intégré est nul ; en effet, pour x = cc^ e^^=o et le degré du terme le plus élevé de la fonction algébrique lLnT>"~^ x^"^"'^ est égal à n — i-i-a<io; on reconnaît encore que tous les termes de la série représentée par la parenthèse sont nuls, pour ^ = o, en vertu

de la relation a H- n >> o. D'ailleurs -^ = — X,/ j , on a

donc

intégrale de même forme que la précédente et que l'on ramènerait de la même manière à

on airiverail donc finalement à

I — / <»-^\r«-^-'ï-l dx — r(a H- n) Ca + /i > o),

et comme, pour a négatif, r(«) se définit par Tégalité

r(a)= LliL-1-^i) ,

on a bien J = r(«).

"^185. Désignons par K etlà les deux intégrales

x%+» 4-ao

o^V a désigne une constante positive.

On démontrera d^ abord que Von a

A2 B2r:= / / e"'' (•*•* + j'^ COS ( .r2 -4- J^'2 ) ^^7 6?^,

puis que

/^-Hoo ^+00

•-' — ûo •-/ — ao

On calculera ensuite les deux intégrales doubles cidessus en substituant les coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires ^ et Von en déduira les valeurs de A et de B.

(Paris, juillet 1894, i"^* question.) On a

A2= / e-^^*cosx^dx j e-'^y^cosy^dy

*J — ao *J — ao

= / / e-"(-^'-*-r')cosa72cos/2û?^û?^^

B2= / / e-«(^'-»-J'')sinip2sin72^;y^^^

ce '^ — ao

d*oii la valeur donnée pour A^— B^.

On a de même

«y — os ty — M

»/ao •>'— 00

ce qui fournit la valeur indiquée pour 2 AB.

Passant aux coordonnées polaires, ces formules deviennent

Jy^OO

pour calculer ces dernières intégrales, nous pouvons intégrer par parties

= aaAB, 2AB = 2 7r — ^(e-«'''cosr2)* — a | e-«'''cos/'2.rû?r = 71 — a(A2— B2).

On en tire

Tza r