AE DF
sinô
b sinô
ou
-r — 2COS0,
d'où les équations de la base et de la roulante
^^1= Xi ^(ÔH-acosO);
ces courbes sont des limaçons de Pascal.
MOUVEMENT PLAN. l4»
Pour que le mouvement des manivelles puisse être révolutlf, il faut que b^a^ ce que l'on reconnaît aisément en faisant a = 7c; il en résulte que la base est un limaçon à boucle, tandis que la roulante est à inflexions. Le cas de a = b donnerait une translation de la bielle.
Quand la manivelle AC fait, à partir de AB, un tour complet, le point D ne décrit qu'une demi-circonférence, car l'angle DAB étant la moitié de CAB, le point D vient sur BA prolongé.
141. Dans un plan fixe n sont tracées deux courbes A e^ B symétriques l'une de V autre par rapport à une droite A ^fig> i3); X est une de leurs tangentes communes , perpendiculaires à A. On fait rouler sans glissement les courbes A e^ B sur la droite X de telle manière qu'elles restent symétriques par rapport à A. Un plan cL^ lié invariablement à A, et un plan [3, lié im^ariablement à B, glissent sur le plan fixe n. Dans ces conditions y le plan cl glisse sur le plan [3 et est animé, par rapport à ce plan p, d^un mouise ment relatif, dont on demande de construire les éléments, à savoir :
r* La vitesse relative d'un point M du plan t. par rapport au plan p ;
2" Le centre instantané de rotation;
'6^ Les lieux de ce centre instantané dans le plan a et dans le plan p ; ces deux lieux ont une définition géométrique très simple au moyen des courbes A e^ B, qui permet d'en découvrir sans difficulté les centres de courbure;
4** Ces centres de courbure connus, on appliquera la
construction de Savary à la recherche du centre de
courbure de la trajectoire du point M. du plan ol par
rapport au plan ^,
(École Normale, 1898.)
Les mouvements absolus des plans a et |î sont deux rotations o) et — w autour des points O' et O; le mouvement du plan a relativement au plan p résulte donc de deux rotations égales et de même sens autour des points O' et O, c'est une rotation 2 w autour du milieu I de 0^0, et la vitesse relative du point M du plan a est 20) X Ml.
Le lieu des points I dans le plan p est la développante de la courbe B, décrite par le point I; dans le plan a c'est une courbe symétrique, développante de A; les' centres de courbure de ces développantes sont respectivement O et O'.
Menons la normale MI à la trajectoire relative de M, la droite MO' joignant le point M au centre de courbure O' de la roulante et IQ perpendiculaire à MI; joignons enfin le point Q au centre de courbure O de la base, le point 0| de rencontre de QO avec la normale MI est le centre de courbure de la trajectoire relative du point M.
142. On donne dans un plan deux droites OA, OA' auxquelles sont respectivement tangents deux cercles égaux C et G {fig^ i4); ^^^ cercles sont respectivement
■ PLAN. l43
symétriques l'un de l'autre par rapport à la bissectrice Os de l'angle AOA', On fait rouler les ce des sur les droites OA, OA' avec la même vitesse angulaire constante w.
Quelles sont les courbes liées invariablement aux cercles C et C qui, dans le mouvement relatif de ces cercles, roulent l'une sur l'autre, sans glissement. Il y a lieu de distinguer le cas où les cercles C, C tournent avec des sens contraires de celui où ils tournent dans le même sens. Qu'arrive-t-il dans ce dernier cas? Comment peut-on alors définir le mouvement?
(Parisjuillet 1896.)
Premier cas. — Les deux cercles restant, à toute époque, symétriques l'un de l'aulre, pour avoir la vitesse
du mouvement relatif de C par rapport à C, il faut composer la rotation absolue de C avec celle de C changée de sens. Le mouvement relatif sera donc une rotation constante a co, autour d'un point B, qui se déplace sur O^, avec la vitesse constante w/'cosa; les lieus du point B
l44 DEUXIÈME PARTIE. -- CHAPITRE I.
relativement aux cercles G et G sont évidemment deux courbes identiques.
Pour obtenir le lieu du point B relativement au plan du cercle G soit, à Tépoque t, I^ le point de G qui viendra en contact avec lA, Bt sera le point correspondant de la base et Ton aura, en posant 01 = a,
Oi [i = a -h arclli = a -f- tùrt,
d'où
IiBj — (a -r o>rt) sina
et
IiBj — IB = oirt sina;
or les droites IB, l4Bi sont tangentes au cercle D concentrique à G et de rayon /'sina, et comme
DiBi— DB = IiB, — IB rrr w résina = arc DiD,
la base cherchée est une développante du cercle D.
Second cas. — Si le cercle G' tourne dans le même sens que le cercle G, le mouvement relatif résultant de deux rotations égales et de sens contraires est, à toute époque, une translation. La vitesse v de cette translation est perpendiculaire à la droite Iil'i, I'^ étant le point de contact du cercle G' avec la droite OA', dans la position qu'occupent ces lignes à l'époque /, relativement au cercle G; de plus on a
Or
d'oii
OiIi = a -f-/'to^, OiI'i = a — riùt,
Jil'i = Oïli-l-Oii; — aOjIiX OiI'i cos2a = 4 (a2 sin2 a -f- r^ w^ t^ cos^ a )
et
V = Ils) y/a'^ sin^a -T- r^ tn^ t^ cos^ a ',
cette vitesse va en croissant avec le temps.
Dans le cas particulier où a = o, la vitesse v est proportionnelle au temps, ^^ = uruy^tcosoL, et sa direction tourne avec la vitesse to, puisqu'elle est alors perpendiculaire à Oi Zi.
14-3. Une tangente d'un cercle C roule et glisse à la fois sur ce cercle en entraînant un plan qui glisse sur celui du cercle; les vitesses de rotation et de glissement sont constantes ; on demande les lieux des centres instantanés dans le plan fixe et dans le plan mobile.
Déterminer à un instant donné les points de la tangente qui seraient des points d'inflexion de leurs trajectoires,
(Grenoble, juillet 189T.)
Le mouvement du plan mobile résulte d'une rotation to autour du centre G du cercle de rayon r et d'une translation V dirigée suivant la tangente AT au cercle; la translation étant perpendiculaire à Taxe de rotation, le mouvement résultant est une rotation simple. Le point I, sans
vitesse, est situé sur AC à une distance du centre C don-
Y née par CI= — > la vitesse V étant comptée dans le sens
de la rotation.
La base est donc un cercle concentrique au premier et de rayon CI; la roulante est une parallèle à la droite AT
du plan mobile, située à la distance r -\ — de cette droite.
Le centre géométrique des accélérations est au point J symétrique de C par rapport au point I, car la droite AT enveloppant le cercle donné, le point G appartient à la circonférence des rebroussements; la circonférence des inflexions étant décrite sur IJ comme diamètre, pour qu'il y ait sur AT deux points dont les trajectoires présentent des inflexions, il faut d'abord que I se trouve entre A et
ViLLiÉ. — Comp. m. 10
l46 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
C, ce qui exige V <C o et que, de plus, la valeur absolue de ~ soit supérieure a -•
144. Un angle droit se meut de telle sorte que ses côtés restent tangents à une cycloïde fixe. Déterminer la basey la roulante et la circonférence des inflexion^.
(Gaen, novembre iSqS.)
L'angle formé par deux tangentes à la cycloïde étant la moitié de celui dont a tourné le cercle générateur, il en résulte que si M et M[< {fig- i5) sont les points de con-
Fig. i5.
tact des côtés de l'angle droit, les rayons CM et 64 M4 seront parallèles et de sens contraires, et que l'on aura AAi = ira, a étant le rayon du cercle générateur.
Menant les normales MA, Mi Ai à la cycloïde, leur point de rencontre I est le centre instantané de rotation répondant à la position MSM| de l'angle mobile ; les coordonnées de ce point, relativement aux axes fixes, sont
OP = OA-h AP = OA -+- AAi cos2 2 = «« 4- ^ (i
coso)
7r\ air . / ir
r = — PI = — ira sin -*- cos
CD aT. I izX
* = cos ( o ) ;
MOUVEMENT PLAN. l47
la base est donc une cjcloïde allongée engendrée par le roulement d'une circonférence de rayon a, sur la droite y = — a, le centre du cercle parcourant l'axe des x et le
point décrivant étant situé à la distance — du centre.
La trajectoire du point S est une cycloïde obtenue par une translation de la base du mouvement, le cercle générateur roulant sur la droite jk = « ( i H — ) •
Les coordonnées du point I relatives aux axes entraînés SM, SM| sont
X = SB -h BM = BBisin 3.-1- aacos^ = irasin --j- 2acos->
r. O CD
Y = SBi -hBiMi = Tzacos^-\- ia sin-i->
d'où l'équation de la roulante
(2X — 7rY)2-h(2Y— 7rX)« = a«('ï^'--4)^
elle représente une ellipse dont les axes ont pour direction les bissectrices des axes coordonnés ; le grand axe, situé dans l'angle des coordonnées positives, a pour grandeur 2a(7t 4- 2) et l'autre ia{Tz — 2).
La figure mobile ne pouvant tourner d'une façon continue que d'un angle égal à - ? on ne doit considérer
comme utiles que les portions des courbes précédentes obtenues en faisant varier cp de o à tc, c'est-à-dire la boucle de la cycloïde base du mouvement, la partie complémentaire pour la trajectoire de S et, pour la roulante, l'arc d'ellipse compris entre le point X© = 2 a, Yq = cl'^ et son symétrique relativement au grand axe.
Enfin nous obtiendrons le cercle des inflexions- en remarquant que, la cycloïde étant Tenveloppe de la droite SM du plan mobile, son centre de courbure O' en M, obtenu en prenant A0'=: AM, appartiendra à la circonfé-
l48 DEUXIÈME PARTIE. — CDAPITRE I.
rence des rebroussements , dont nous obtiendrons de même un second point O'^ ; prenant IJ = ID, cette droite IJ sera un diamètre du cercle des inflexions. On a encore
10' = i:a cos - — 2a sin -^ »
lUi = Tza sin — — la cos - y
d'où
IJ = a y/4 -H TT^ — 4 "ï^ sin ç ;
le diamètre du cercle des inflexions varie entre a(Tz — 2) et a y/4 + TT-.
145. Un plan P se meut sur un plan fixe Q, de telle sorte qu'une droite donnée D du plan V passe constamment par un point fixe O et qu'un point A {fig- 16) de la droite D décrive, d'un mouvement uniforme, une spirale d'Archimède ayant le point O pour pôle,
Fig. 16.
Déterminer les lieux du centre instantané de rotation dans le plan P et dans le plan Q.
Trouver, pour une position donnée du plan mobile, la circonférence des inflexions, le centre des accélérations et le centre de courbure de la spirale d'Archi-
mède au point A.
(Gaen, juillet 1893.)
MOUVEMENT PLAN. l49
Le centre instantané de rotation est au point I de rencontre de la perpendiculaire 01 à la droite D, avec la normale AI à la spirale r = aQ, c'est-à-dire au pied de la sous-normale polaire, d'où
OI = -7;- = a.
La base est donc un cercle de centre O et de rayon a, et la roulante une droite parallèle à la droite D et située à la distance a de cette droite.
Le centre géométrique! des accélérations s'obtient par la formule
c'est le symétrique de O par rapport à I, résultat auquel on arrive immédiatement, si l'on remarque que le point O appartient à la circonférence des rebroussements.
Le mouvement du point A étant uniforme, ce point appartient à la circonférence lieu des points d'accélération tangentielle nulle; menant alors la perpendiculaire AS à AI, son point de rencontre avec la tangente commune à la base et à la roulante sera le point de cette circonférence diamétralement opposé au point I, d'où le centre C des accélérations au point d'intersection de cette circonférence avec celle des inflexions.
Le centre de courbure 0\ de la spirale d'Archimède s'obtiendra en appliquant, par exemple, la construction de Savarj modifiée. On peut en déduire le rayon de courbure AO^ = p de la spirale; on a
AI X OiQ Oi Q __ lOi Aï — p g — p cos V
^ "" a ~~ cosV ~" cos^V "" cos^V ~" cos^V
d'où
cosV(i-f- cos2V)'
l5o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
(l^aîileurs AS étant la tangente à la spirale, on a
tangV = 0,
et, finalement,
a(iH-Q»)''" 0»
146. Un angle de grandeur invariable a se déplace dans son plan^ de telle manière qiCun de ses côtés touche un cercle fixe C, de rayonK, et qu^ un point A. pris sur l'autre côté de l'angle, à une distance a du sommet, décrive une droite fixe CD passant au centre du cercle.
Déterminer la base, la roulante et la circonférence des inflexions.
Que devient en par ticu lier cette circonférence, quand
V angle mobile touche le cercle fixe au point où celui-ci
est coupé par la droite CD ?
(Paris, juillet 1892.)
Le centre instantané I (^fig* 17) est au point de ren-
Fig. 17.
contre du rayon CB du point de contact du côté OB et de la normale AI à l'axe ÇaX,
HOUYEMENT PLAN. l5l
Le lieu des points I dans le plan fixe est donné par l'équation
