AG GH

GI = r= — T = — -f.; cosG cos'O

or la projection CH de AC sur le rayon vecteur du point I

est constante

GH = a sina -h R = 2/?,

d*où Téquation de la base

c'est une courbe symétrique par rapport aux axes coordonnés et qui présente des branches paraboliques.

Quant à la roulante, si l'on prend le point A pour origine des axes entraînés et pour axe des Y une parallèle à OB, elle a pour équation

Y = AH = 2/? tang6 ~ 2/) y;

c'est la parabole Y^ = 2/?X.

Si, en particulier, a= o, le point A serait sur le côté OB, et l'on aurait 2/? = R.

Pour obtenir la circonférence des inflexions, nous remarquerons d'abord qu'elle passe par les deux points I et A; d'ailleurs, G étant le centre de courbure de l'enveloppe d'une droite OB du plan mobile, son symétrique L par rapport au point I appartient encore à la circonférence des inflexions, ce qui permet de la tracer. Enfin le centre géométrique J des accélérations étant diamétralement opposé au point I doit être au point de rencontre de cette circonférence avec A^, et IJ est la normale au point I à la parabole roulante.

Si le point B vient en B< sur Cx^ les points I< et Ai coïncident, L< vient en J< tel que A4 J< = CA4 = 2/?, et

le cercle des inflexions est un cercle de rayon/?, tangent à la parabole en son sommet.

147. Une droite OD {fig- i8) tourne dans un plan et avec une vitesse angulaire constante w autour d'un de ses points O supposé fixe. Un cercle C roule en même temps, sans glisser, sur la droite OD avec une vitesse angulaire co^ également constante. Ce cercle entraîne une figure plane qui glisse sur le plan fixe.

On demande de trouver les deux courbes fixe et mobile qui roulent l'une sur Vautre, sans glisser.

Examiner ce qui arrive si les rotations to, a)| deviennent égales, mais de sens contraire,

(École Normale, 1894.)

Nous prendrons pour instant initial celui où le cercle G touche OD au point O et pour axe des x la position correspondante de OD, enfin nous compterons 0)4 en sens inverse de to.

Fig. 18.

Le mouvement du plan mobile est un mouvement résultant de deux rotations autour des points O et A, et le

MOUVEMENT PLAN. l53

centre instantané, à l'époque t^ est sur OD un point I déterminé par la relation

0) X 01 — a>i X AI = o ;

or, a étant le rayon du cercle C, OA = aa), t^ on en tire

01 = *— et AI = — :

0)1 — tO 0)1 — O)

d'ailleurs, i = - : l'équation de la base est donc

c'est une spirale d'Archimède tangente à l'origine à l'axe des X,

Le lieu des points I, relativement aux axes entraînés O^X, 0| Y, s'obtient aisément en remarquant que

Ai = ei = pe,;

0)1 — to '

si donc on trace une développante du cercle de rayon p, ayant son origine sur CO^, et que l'on projette ses divers points sur les tangentes correspondantes du cercle C, on obtient la roulante.

Dans le cas particulier où les vitesses angulaires w et cO| sont égales, le mouvement est une translation; la vitesse \? commune à tous les points du plan est normale à OD et a pour expression

V = OA X 0) = aa)*f ;

elle est proportionnelle au temps. Cherchons alors la trajectoire d'un point du plan mobile, de O» par exemple;

on a

doc

—r- = — V sin6 = — atii^t sino)^, at

-5-= pcos6= aw^icoso)^,

X = a{o)tcoso)t — sino)^) = rt(6cos6 — sin6), y = a{o)t sinoit -h costat — i) = a(6 sin6 -+- cos6 — i);

c'est une développante D| du cercle C| de rayon a et tangent à Ox,

i 48. Quelle courbe faut-il/aire rouler sur une droite fixe pour qiHun point M invariablement lié à cette courbe décrive une seconde droite inclinée d'un angle a sur la premier e1

Déduire de la construction de Savary une construction simple du rayon de courbure de la courbe cherchée,

( École Normale, 1890.)

Soient B la base, R la roulante et A la roulette du point M; la droite MI normale à la roulette du point M

Fig. 19-

{fig, 19) fait, avec la tangente B à la roulante, un angle constant v = a.

D'ailleurs, MX étant un axe polaire entraîné dans le mouvement, on a

tangp = —, - = cota = - j ^ dr a

d'où l'équation de la roulante

cette courbe est une spirale logarithmique ajanl le point M pour pôle (^).

On obtiendrait le centre de courbure 0| de la roulette du point M en joignant M au centre de courbure O' de la roulante, prolongeant cette droite jusqu'en son point Q de rencontre avec la droite IQ normale à IM et menant, par le point Q, une parallèle à 10' jusqu'à sa rencontre en O^ avec MI; or ce point O^ doit être rejeté à l'infini, puisque la roulette est une droite; donc il doit en être de même de Q. Il en résulte que le centre de courbure O' est au pied G de la sous-normale polaire ; c'est une propriété connue de la spirale logarithmique.

La relation

dans laquelle il faut faire R = oc, montre que le point J, centre géométrique des accélérations, se confond avec le point G, centre de courbure de la roulante.

149. Quellecourbe Oaui faut-il faire rouler sans glissement sur une corde KR d^une circonférence pour qu^ un point O, invariablement lié à C^, décrive cette circonférence.

(École Normale, 1892.)

Le point I, où la droite 00' {fig* 20) normale à Tare AB rencontre la base, est le point de contact de la roulante Cm avec la base; le point O étant pris comme ori-

( ' ) ViLLiÉ, Cinématique, page 55.

l56 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

gine, l'équation différentielle de la roulante est

d'ailleurs

tangf'= Yû = -j

d'où

rfO

— 2ar-\-c^

intégrant, on a

- -4- const. = - log [c^z — a-\- ^(c^z — a)^— /i^]. Nous déterminerons la constante en prenant pour axe

Fig. 20.

polaire, dans le plan mobile, la droite 01 quand le point I est au milieu H de AB; alors 6 = o donne

r = a — hy c^z — a = h, const. = - log ^,

d'où l'équation de la roulante Cm

OU encore

cette courbe est une spîrale tangente intérieurement au cercle r^=.a — h et qui se compose de deux branches symétriques, asjmptotiques au pôle. La longueur totale de cette spirale doit être égale à ic\ il est aisé de le vérifier en remarquant que

sinp =

ds ~~ a

- r) dr

d'où

, r( a — r) d^ \u, — r 1 ur /- ; j-

ds = ; = , ^ ^ , s = \/(a — r)2 — ^2,

sans addition de constante si l'on compte les arcs à partir du sommet de la spirale. Pour r = o, on a bien

Nous avons supposé l'arc AB inférieur à la demi-circonférence; s'il lui était supérieur, h serait négatif et la spirale aurait deux branches hyperboliques.

Enfin, dans le cas de A = o, on reconnaît directement que la roulante se réduit à un point situé à la distance a du point O.

150. Soient M un point d^ une figure plane de forme invariable, O^ le centre de courbure de sa trajectoire, I le centre instantané de rotation, Rappeler la démonstration de ce théorème classique : Vaxe radical du cercle de centre M et de rayon MI et du cercle décrit sur M0| comme diamètre passe par un point J qui est fixe, c^est-à'dire indépendant du point M choisi. De

', ainsi que les centres de courbure de e la courbe enveloppe de la droite AB.

(École Normale, 1896.)

istantané de la tige AB est au point I de )rmales AO, et GO des trajectoires des le point N où la tige AB touche son enied de la perpendiculaire abaissée de I

ra Taxe radical des deux cercles décrits centre avec AI pour rajon, et l'autre liamètre, ce qui donnera une première le se trouvera le centre géométrique J 5 le point G en fournira une seconde et section ; IJ sera la normale commune à lante.

i des points I, J permettra, à l'aide de la avarj modifiée, d'obtenir le centre de

7Me, page 86.

courbure d'une roulette quelconque, et, en particulier, celui de la courbe p.

Enfin la perpendiculaire IN à AB, donnant le point N de contact de la tige et de son enveloppe, le second point O2 de rencontre de cette droite avec le cercle symétrique par rapport à I, de la circonférence des inflexions, sera le centre de courbure de la courbe enveloppe de la droite AB.

l6o DKUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.