D'UN POINT FIXE
loi . Sur une sphère, un arc de grand cercle de longueur donnée l a ses deux extrémités B e^ G qui glissent sur deux grands cercles fixes se coupant en A et faisant entre eux V angle a.
On demande le cône base et le cône roulant.
Le pôle instantané I est au point de rencontre des arcs de grands cercles, menés par les points B et G normalement aux arcs AB et AG.
Pour rechercher l'équation du cône base, nous prendrons OApour axe des z et le plan bissecteur de l'angle a pour plan des xz, La normale au plan mené par OG perpendiculairement au plan AOG étant la tangente en G à l'arc GA, l'équation de ce plan normal est
d'où
X cos6 cos — \- y cos6 sin z sinô = o,
a .a /n a X cos — \-Y sm - r cos (6
tang6 = ^ = ^
et de même
r cos (0 -h tangc = -"
MOUYEMENT D^UN SYSTÈME INVARIABLE, ETC. ]6l
on a d'ailleurs
cos l = cos b cos c H- sin 6 sin c cos a :
éliminant les variables 6 et c entre ces trois équations, on a l'équation du cône base
cos» / L« -h r» cos» U — ^\\ L« -4- r« cos« (^ -H -)] = Ls* 4- r» cos (6 J cos ( 6 -H - ) cos a ;
ce cône du quatrième degré est symétrique par rapport aux trois plans coordonnés.
Nous procéderons d'une façon analogue pour obtenir l'équation du cône roulant; prenant le plan OBC pour plan des XY et pour axe des X la bissectrice de l'angle BOC, on a
r sin ( 6 4- - ) r sin ( 6 )
tangC = y^ ^, tangB = -jT^^ '
cos a = — cos B cosC -+- sinB sin G cos/, d'où l'équation du cône roulant
cosîa [Zï + r^sinï/^e— -^1 Tzs-h r^ sin« /^O -F -]1 = rz»-+-r«sin U ^^\ s\n U -^ -) coslV ;
c'est encore un cône du quatrième degré symétrique par rapport aux plans coordonnés.
Dans le cas particulier où Tangle des deux cercles fixes
0L = -9 l'équation du cône base rapporté aux plans de ces
cercles est
5* tang» l = x^y^ -\-y^z^-^ z^x^ ;
les plans des cercles fixes sont encore des plans de symé- YiLLiÉ. — Comp, 111. II
trie; le cône roulant est du second degré et a pour équation
Z«= /'x^sin»- -Y«cos«-V
On obtient des résultats analogues quand la longueur de Tare mobile / = - •
153. Un corps solide se meut autour d' un point fixe avec une vitesse angulaire constante. On suppose :
1° Que la vitesse angulaire portée sur Vaxe instantané se projette sur une droite D, invariablement liée au corpsy suivant un se gment de grandeur invariable tù,
2** Que la projection de la vitesse angulaire sur un plan perpendiculaire à D tourne avec une vitesse constante — (0, relativement à des axes entraînés avec le corps.
On propose d^ exprimer explicitement en fonction du temps les trois angles d^Euler qui déterminent la position du corps relativement à des axes fixes,
(Paris, novembre 1892).
La droite D étant prise pour un des axes, O^, liés au corps, nous désignerons parwi la projection constante sur le plan des xy de la vitesse angulaire constante û de la rotation, et nous prendrons pour axe des x la projection de Q à l'instant initial ; enfin, nous choisirons comme axes fixes les positions initiales des axes coordonnés liés au corps.
On a les formules
p= wi coso)^ = t|^' sin6 sincp -h ô'cos<p, (i) l q = — wj sinoji = ^''sinô coscp — ô' sin^,
r= (jj = t}^' cos6 H- «p';
MOUVEMENT d'uN SYSTÈME INYÀRIÀBLE, ETC. l63
On en tire
(2) o).sin(y-a.O^
^ sin6
(3) ô' = (Oi cos((p — u)f),
sinÔ d'où, en multipliant terme à terme les équations (3) et (4),
cosO
(4) W — Cp'= lJ»'cOSÔ = 0)1 sin((p — Oit) -r—^y
cos(q) — 0)0/ r X 6'cos6
^^ ^(cp'a>)H r— - =o;
siii(cp — 0)^) ' sino
intégrant cette dernière équation, on a (5) siii(cp — (i>^) sin6 = const. = o;
la constante est nulle, car, pour ^ = o, on a
Pour que l'équation (5) soit vérifiée, il faut que l'on ait 8 = o, ce qui supposerait une rotation autour d'un axe fixe, ou cp = oj^j dans ce dernier cas, ç' = a) et i{^' = o, donc <|; = tj^o = o ; enfin, l'équation (3) donne
6'= toi, 6 = toj^.
On peut arriver aux résultats qui précèdent sans intégration, en déterminant d'abord les éléments géométriques du mouvement.
Le cône roulant est de révolution autour de la droite D,
et d'angle cxf donné par cosa'= --; la projection w, de ù
sur le plan des xy se déplaçant avec une vitesse angulaire constante, il en est de même pour la génératrice de contact Q sur le cône roulant et, par conséquent, la vitesse de roulement V est constante.
La formule
V ~" tanga tanga'
l64 DEUXIÈME PARTIE. — GDAPITRE II. — MOUVEMENT, ETC.
montre que a est coDStant, d'où l'on conclut que le cône base est de révolution; on a d'ailleurs
V = — to sina' et, par suite,
1 il cosa' I / f I \ ,
; = ; — -, -+- - — , = ~. — j { cosa ; = — tanga ,
taiiga wsina sma sina \ cosa/
ce qui prouve que les deux cônes sont extérieurs et que leurs angles a et — a' sont complémentaires; il en résulte que Taxe du cône base est toujours dans le plan xOy^ mais cet axe est fixe : donc le plan xOy passe par une droite fixe et l'on a
i ' d'où
r = (0 = tp', <p = (i>f, et enfin
0' = i/p^~^- q^ = Wi, e = (1)1 f .
MOUVEMENT GÉNÉRAL d'uN SYSTÈME INYARIABLE. l65
