MOUVEMENT GÉNÉRAL D'UN SYSTÈME INVARIABLE
153. Trois points d'une droite invariable sont assujettis à demeurer sur trois sphères ayant leurs centres sur Vaxe des z. Etudier les surfaces décrites par les autres points de la droite invariable.
(École Normale, 1889.)
Soient a, p, y les centres des sphères décrites par les trois points A, B, C de la droite invariable; tout mouvement élémentaire de cette droite est une rotation autour d'un certain axe IF, intersection des plans normaux aux trajectoires des points A, B, C, lesquels contiennent respectivement les normales Aa, B^, Gy aux trois sphères, donc ces droites rencontrent Taxe IF. Réciproquement, tous les axes tels que IF, 'pour une position déterminée de la droite mobile, sont sur un même hjperboloïde dont Oz est une génératrice du même système que ces axes. Mais la normale Mjjl à la surface décrite par un point M de la droite doit rencontrer tous ces axes : c'est donc une génératrice du second système de cet hyperboloïde, qui, par suite, coupe l'axe des z] on en conclut que la surface décrite par le point M est de révolution autour de Oz. Cette conséquence suppose simplement que les surfaces sur lesquelles les points A, B, G sont assujettis à se mouvoir sont de révolution autour de Os; dans le cas
j66 troisième partie. — chapitre m.
particulier où ce sont des sphères, les points a, p, y sont fixes ; donc il en est de même du point [Ji, en vertu de ce théorème de Géométrie :
Les points auxquels quatre génératrices du même système (Vun hyperboloïde coupent une génératrice de Vautre système forment un rapport anharmonique constant.
Tout point M de la droite décrit donc une sphère ayant son centre sur Oz,
Voici une solution analytique de la question : Soient
X, [JL, V les cosinus directeurs de la droite mobile MA; a, è, c les distances constantes d'un point M de la droite
aux trois points A, B, C; /, m^ n \e z du centre de chacune des sphères décrites
par les points donnés.
Le point A se meut sur la sphère
x^ -\- y^ -^ z^— ilz = r^— l^\
d'ailleurs les coordonnées X, Y, Z du point M satisfont aux équations
a? = X+Xa, y = Y -Jf \Lay ^ = Z-i-va, d'où l'équation
X2+Y»4-Z»-f-2a(XX-+-fxY-+-vZ)-2/(Z4-va)
et deux autres analogues
Xï-+-Y24-Z«-+-26(XX4-fxY4-vZ) — 2m(Z-+-v6) = A:2, X2-hY»-+-Z2+2c(XXH-txY + vZ) — 2/^ (Z4-vc) = Â:3.
Ces trois équations suffisent pour éliminer les trois cosinus variables qui ne figurent que par l'un d'eux v et la somme XX + u.Y + vZ.
MOUVEMENT GÉNÉRAL d'uN SYSTÈME INVARIABLE. 167
L'équation résultant de cette élimination est la suivante :
(X^-h Y«-4- Zi)[ab{m — /) -h bc(n — m) -+- ca{l — n)] — iZ[abn{m — /) -+■ bcl(n — m) -h cam{l — n)] = abki{m — l) -\- bcki(n — m) -+- caki{l — n);
elle représente une sphère dont le centre est sur l'axe Oz,
154. On considère, à un instant donné, une droite!) animée d'un mouvement quelconque. Prouver que toutes les droites suivant lesquelles sont dirigées les vitesses de tous les points de D appartiennent à une même surface du second degré. Examiner, en particulier, le cas où la droite D serait tangente à la trajectoire de Vun de ses points.
(Paris, juillet 1891.)
Si l'on prend pour axe des z Taxe hélicoïdal du mouvement donné, à l'époque considérée, et pour axe des x la plus courte distance de Taxe hélicoïdal et de la droite, les équations de cette droite sont
a? = a, y =■ bz,
et les composantes de la vitesse de l'un quelconque de ses points
la droite suivant laquelle est dirigée la vitesse de ce point a donc pour équations
— iiiy iùx y '
éliminant x^ y^ z entre ces deux équations et celles de la droite, on a l'équation du lieu
{yb-^^a)l ^
l68 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
elle représente un paraboloïde hyperbolique dont les plans directeurs se coupent suivant l'axe des x.
Dans le cas particulier où la droite D serait tangente à la trajectoire de l'un de ses points, on devrait avoir pour ce point
d'où la condition wa = V65 le point y = o dont il s'agit serait d'ailleurs le pied de la plus courte distance de l'axe et de la droite; le lieu des vitesses se réduit alors au plan double Y=6Z passant par la droite donnée et Taxe des X,
On arrive immédiatement aux résultats qui précèdent, si l'on remarque que tout déplacement élémentaire d'une droite étant une rotation simple autour d'une droite A conjuguée de D, les vitesses des points de la droite D sont parallèles à un même plan normal à l'axe A, et, comme ces vitesses rencontrent la droite D et sa position infiniment voisine, le lieu des droites suivant lesquelles sont dirigées les vitesses est un paraboloïde hyperbolique.
La droite D ne peut d'ailleurs être tangente à la vitesse de l'un de ses points que si elle est située dans un plan normal à A, et ce plan est alors le lieu des vitesses.
155. Dans un système invariable en mouvement on suppose connues les directions des vitesses de trois points. Déterminer, soit géométriquement, soit analytiquementj Vaxe instantané de rotation et de glissement.
(Paris, juillet 1890.)
Chasles a donné de ce problème la solution géométrique que voici :
Soient A, B, C les trois points du corps, la droite D
MOUVEMENT GÉNÉRAL d'UxX SYSTÈME INVARIABLE. 169
passant par A et B a pour conjuguée une droite A, qui est rintersection des plans normaux en A et B aux vitesses de ces points. On obtient de même la conjuguée A' de la droite D' joignant A à C. Soient P et P' les perpendiculaires communes à D et A, D' et A', ces droites rencontrent normalementl'axe hélicoïdal; on obtiendra donc cet axe en menant la normale commune aux droites P et F.
Pour traiter la question par le calcul, nous prendrons AB pour axe des x et Taxe des y passant par le point C; nous chercherons à déterminer d'abord les composantes X, (X, V de la vitesse de l'origine O des axes coordonnés et celles jo, y, r de l'axe correspondant au point O. Soient OA ■= a\ «i , Pi , Y* 'es cosinus directeurs de la vitesse du point A; etc. Exprimant que les composantes des vitesses de chacun des trois points sont respectivement proportionnelles à leurs cosinus directeurs, on a
X __îJt-+-ra v — qa X [jt.-f-/'6 v — qb
«1 "" Pl ~ ïl ' «2 ~" P2 ~~ Ï2 '
fx V -\- pc
Ce sont là six équations homogènes du premier degré entre nos six inconnues; il doit donc y avoir entre les données une équation de condition que nous supposerons satisfaite. Les quatre premières équations donnent
X a — 6\a2 0^1/ X a — b\oLi a
et la sixième
A a — b \ OLi «1
enfin la cinquième fournit l'équation de condition
«2P3/ \a1P3 / Va» «1/
La composante arbitraire X disparaît ensuite des équations de Taxe hélicoïdal
\-\- qz — ry \x-\- rx — pz v-4- py — qx
lo6. Démontrer que, si deux points K et ^ d'un solide animé d'un mouvement hélicoïdal ont des vitesses parallèles, ces vitesses seront égales et la droite AB sera parallèle à l'axe central.
Cela posé, on considère un tétraèdre régulier SABC {Jig* 21) se mouvant de telle sorte que les vitesses des points Ket^ soient représentées en grandeur et direction par la droite AS, et que la vitesse du point C soit dirigée dans le plan ABC. Déterminer pour un instant donné l'axe central correspondant du mouvement du tétraèdre, la vitesse de glissement du solide suivant cet axe, la vitesse angulaire de sa rotation, enfin la direction et la grandeur de la vitesse du point C.
(Gaen, novembre 1888.)
Les vitesses des points A et B ont même projection, la vitesse de glissement V, sur l'axe hélicoïdal Oz et, comme elles sont parallèles, il faut de plus qu'elles soient égales; cette double condition entraîne l'égalité de leurs composantes
— a)j^ = — ^y\ iùx = wx' d'où x'=.Xf y' = y,
ce qui signifie que la droite AB est parallèle à l'axe hélicoïdal.
L'axe central étant parallèle à AB est perpendiculaire
MODTEMENT GfiNeitAL d'lK SVSTËHE
au plan CSD mené par le milieu D de AB; l'une des composantes V de la vitesse de C étant dans le plan ABC, pour que l'autre y soit également, il faut que l'axe central
rencontre la perpendiculaire CC au plan ABC. La projection de la vitesse de A sur le plan CDS est DS, la perpendiculaire DK. à cette droite DS, dans le plan CSD, donne le point K trace de l'axe central KH sur ce plan et la vitesse angulaire de la rotation du solide est
le triangle isoscèle SDK donne d'ailleurs
La vitesse de glissement, projection de AS sur AB est -> a étant le côté du tétraèdre; enfin, la position de l'axe central est déterminée par
CK = GDcot« = .^.
Il nous reste à chercher la direction et la grandeur de
la vitesse du point C ; on pourrait y arriver directement puisque Ton connaît ses deux composantes w.CK. sui-
vant CD et - normale à la première dans le plan CAB,
mais il est plus simple de remarquer que, les projections des vitesses de deux points G et B d'un solide sur la droite qui les joint étant égales (*), il en est de même de celle des points C et A sur CB.
D'ailleurs, la projection sur CB de la vitesse AS du point A est nulle, il en résulte que celle de la vitesse de C l'est aussi ; la vitesse du point C est donc normale à CB, dans le plan CAB, et, comme sa projection sur AB est égale à AD, la vitesse du point C est égale, en grandeur et direction, à la droite AO, le point O étant le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ;
157. Une figure F de forme invariable se meut dans V espace dans les conditions suivantes : Un cercle C, lié invariablement à la figure F, roule uniformément sur une droite fixe AB, tandis que son plan tourne uniformément autour de cette même droite.
Prouver que tout déplacement infiniment petit de la figure consiste en une rotation simple.
Trouver les lieux des axes instantanés dans le corps
et dans ^ espace,
(École Normale, 1895.)
C) On démontre ce théorème en s'appuyant sur cet autre que la vitesse d'un point B est la somme géométrique de deux autres, la vitesse d'un point G et celle qui aurait B tournant autour d'un axe CI correspondant au point C ; or la projection sur CB de cette dernière composante est nulle : donc les projections des vitesses de deux points sur la droite qui les joint sont égales.
MOUVEMENT GÉNÉRAL d'cN SYSTÈME INVARIABLE.
Cette question, donnée à Caen en novembre 1887, a été traitée dans le 2* Volume, n° 93.
138. Le sommet M {fig* 22) d\in trièdre trirecLangle se meut sur un cône de révolution , en rencontrant toutes les génératrices sous un angle de 45°, V arête MA passe constamment par le sommet du cône et V arête MB est toujours normale au cône ; déterminer Vaxe hélicoïdal et le pas des hélices correspondant à ce mouvement,
(Caen, novembre 189a.)
Le mouvement du trièdre résulte d'une rotation w autour de l'axe 0;â du cône et de la translation V du point O
Fig. 22.
du solide, le long de OM; les composantes rectangulaires V et (or de la vitesse du point M faisant des angles égaux avec leur résultante, on a V = cor.
La vitesse d'un point quelconque x^ y^ z du solide a pour composantes
Vx=^ — wj/' + Vsina, Çy=ztùXy P2=Vcosa; l'axe hélicoïdal étant parallèle à Oz est le lieu des points
pour lesquels
ses équations sont donc
r = — sma = r sina, x = o:
la vitesse de rotation est w et celle de la translation le long de Taxe hélicoïdal HH' est
y = Çz = wrcosa; le pas deé hélices
/i = — V = 2'Tcrcosa.
La projection sur le plan des xy de l'hélice cylindroconique décrite par le point M a pour équation différentielle
dr rd^ = dp= - — , d'où r = Tq e^ •'"«,
^ sina
c'est une spirale logarithmique; enfin le lieu des axes hélicoïdaux est le cylindre
dont la base est une spirale logarithmique égale à la projection de la trajectoire du point M sur le plan de base.
159. On considère le mouvement d' un système d^axes mobiles So {mouvement d^ entraînement) et le mouvement d'un solide S 3 par rapport à ces axes mobiles. On suppose que ce mouvement relatif se réduit à une rotation.
Soit PQ Vaxe instantané de rotation et de glissement dans le mouvement d^ entraînement. Soit P'Q' Vaxe de rotation dans le mouvement relatif et w la vitesse de rotation.
MOUVEMENT GÉNÉRAL d'uN SYSTÈME INVARIABLE.
Soit P"Çl" l^axe instantané de rotation et de glissement dans le mouvement absolu de S3.
Soit RT la perpendiculaire commune à PQ et P'Q'.
On demande :
1° De démontrer que F'Q" est perpendiculaire à RT ;
2" De démontrer que F'Q'' rencontre RT;
3** De trouver V équation de la surface engendrée par V(^' quand on fait varier w, laissant Vaxe P'Q' invariable et sans rien changer au mouvement d'entratnement. Cette surface est un conoïde du troisième degré ; on prendra P'Q' comme axe des x et RT comme axe des z {Jig» 23).
(École Normale, 1891.)
Toute rotation pouvant être remplacée par une autre égale et parallèle, passant par un point quelconque A du
Fig. 23.
eu
Cl)
corps , et par une translation Taxe correspondant au point A sera, quel que soit ce point, la somme géométrique de la rotation w dirigée suivant Ox et de la rotation PQ perpendiculaire à O^; cet axe sera donc perpendiculaire à 0>s, et il en sera de même en particulier de l'axe hélicoïdal.
Pour obtenir les équations de l'axe hélicoïdal, nous chercherons les composantes parallèles aux axes coor-
doDnës, de la vitesse d'un point x^y^ z du solide S3 et nous écrirons qu'elles sont proportionnelles aux composantes parallèles aux mêmes axes delà rotation résultante. Soient /?, q et zéro les composantes de la rotation PQ, celles de la translation suivant PQ seront X/?, "kg et zéro, d'où
Çy;=\p -\- q(z — a), {>y=\q — (hz-t- p{z ~ a)j les composantes de la rotation résultante étant
to-H/?, q, o,
les équations de l'axe hélicoïdal P^'Q'' sont '
Xp -^ q{z — ^) ^ kç — ^^ — p(^ — ^)
) (w -+-/>)^ — qx = o.
La seconde de ces équations montre que l'axe hélicoïdal rencontre l'axe des z et la première qu'il lui est normal, ce que nous avions déjà démontré.
Si on élimine w entre les équations de l'axe P'Q", on a l'équation de la surface engendrée par cette droite, quand w varie seul,
qz(x^'hy^)^y[y(aq — lp)-+'X{ap'hlq)]; elle représente un conoïde du troisième degré.
160. Former par rapport à trois axes rectangulaires les équations de l'axe central correspondant au moucernent élémentaire d'un solide, sachant que ce mouvement résulte de deux rotations et de deux translations : Vaxe de Vune des rotations est égal à p et dirigé suivant Ox^ l'axe de l'autre est égal à q et dirigé suivant Oy ; la vitesse d'une des translations est égale à ap et parallèle àOx^ la vitesse de Vautre égale à bq et parallèle à Oy.
MOUVEMENT GÉNÉRAL D'uN SYSTÈME INVARIABLE. I77
Calculer le pas des hélices dont les divers points du solide décrivent chacun un élément.
Déterminer la surface engendrée par l'axe central quand on donne à p et à q toutes les valeurs possibles, a et b restant fixes. Montrer qu'un plan quelconque passant par une génératrice coupe la surface suivant cette droite et suivant une ellipse dont la projection sur xOy est un cercle passant à V origine.
(Gaen, juillet 1889.)
Suivant la même marche que dans l'exercice précédent, nous aurons
Vx=ap-\- qz, Vy—hq—pz, Vz^py — qx, d'où les équations de Taxe central
ap -4- q z hq — pz
—^ ^— = -^ — , py — qx — Q.
La vitesse angulaire de la rotation autour de cet axe est
(0= y/p'^-h q- et la vitesse de glissement V suivant cette droite étant égale à la projection de la vitesse v sur Taxe central a pour valeur
le pas des hélices décrites
, 27cV ap^-hbq^
Si entre les équations de l'axe central
Z = i, z = ^^~^^Pq X p' p^-hg'^
on élimine le rapport variable -» on aura l'équation d'un
ViLLiÉ. — Comp, llî, ' 12
lyS DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
conoïde du troisième degré
{h — a)xy
lieu des axes centraux. Un plan quelconque passant par
la génératrice
{b — a)oL y = oix, z = r—
aura pour équation
la projection sur le plan des xy de son intersection avec le conoïde s'obtient par l'élimination de z entre les équations précédentes, ce qui donne, après suppression de la solution y — olx = o représentant la génératrice rectiligne, le cercle
X(i-h a2) (372-4-72) = (b — a)(x — ay)
passant à l'origine; la courbe plane correspondante est donc une ellipse.
