On suppose qu^ une planète décrit autour du
Soleil S supposé fixe, une orbite circulaire dont le
plan demeure invariable, et qu^elle tourne en même
temps avec une vitesse angulaire uniforme autour d* un
axe passant par son centre et de direction constante.
Déterminer le lieu géométrique de Vaxe instantané
de rotation et de glissement, dans la planète et dans
Vespace.
(Paris, juillet 1893.)
Soient 0) la vitesse de rotation de la planète autour de l'axe de direction invariable, aie rayon de l'orbite de son centre, [x la vitesse angulaire de ce rajon et e l'obliquité de l'équateur sur le plan de l'orbite. Le mouvement de la
MOUVEMENT GÉNÉRAL d'UN SYSTÈME INYARIABLE. I79
planète résultant d'une translation, celle de soii centre P, et d'une rotation autour d'un axe w de direction constante passant par ce point, est un mouvement hélicoïdal autour d'un axe parallèle à w; les lieux cherchés sont donc deux cylindres normaux à l'équateur.
Nous prendrons un système d'axes en translation avec le point P : Pz coincidant avec w et P;r avec la ligne de l'équinoxe de printemps, et nous compterons le temps à partir de cet équinoxe. L'axe hélicoïdal, à l'époque tj sera le lieu des points ^, y, z de la planète, pour lesquels Va:= Vj= o ; cherchons d'abord les composantes de la vitesse d'entraînement à l'époque t. Considérons, à cet effet, un système d'axes fixes SxxyiZi parallèle au premier; les coordonnées du point P, dans le plan de l'écliptique, étant
a co% \i.t, a sin jjL^,
les composantes de sa vitesse sont, par suile, dans ce même plan,
et les projections de cette vitesse sur les axes Sxi et Sy^ sont
d'où les équations de Taxe hélicoïdal relativement aux axes en translation
Va: = — w/ — \La?>\n\t.t = o, Vj= isix H- (jiacose cosjjl^ = o;
Lia u.a .
le lieu de ces droites est un cylindre elliptique d'axes
iixa i[i.a
— i — coss et — ^ — •
Nous obtiendrons les équations de l'axe hélicoïdal par rapport au système fixe, en remarquant que deux des
l8o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
coordonnées du point P ont les valeurs
^ = acosixt, TQ = a cos e sin jjL ^, d'où
a?! = a ( I — — coss) cos iktj y^ = a f cose — — j sin \i.t\ le lieu de ces droites est un cylindre elliptique d'axes
-cosê)^ aafcosÊ — — )
Il nous reste à chercher le lieu de ces mêmes droites relativement à des axes entraînés avec la planète; nous choisirons comme axes PXYZ, fixes dans la planète, ceux qui coïncidaient, à l'origine du temps, avec les axes en translation et qui, par suite, ont tourné de l'angle tùt autour de Vz. On a les formules de transformation
X= X costsit -^y sin w^ = — — (cose cos{Ji^cosa)i-H sin [x^ sin to^),
Y = — xsmuit -\-y cos tut = — (cosscosfJi^sinto^ — sin fx^cosw^), que l'on peut écrire
— X = ^— cos2 - cos(o} — ii)t — sin2-cos(o} -f- [i)t ,
Y = ^— cos* - sin (w — ix)t — sin* - sin (o) -+- ii)t . 0) L '^ 2 J
Ces équations sont de la forme
— X = (r-f- r')cos6 — /cos(GH-<p), Y = (r H- r') sin6 — / sin(0 -h cp),
représentant l'épicjcloïde décrite dans le roulement extérieur d'un cercle de rayon H sur un cercle de rayon r, par un point situé à une distance / du centre du cercle rou-
MOCTEHENT GÉNÉRAL D*LN SYSTÈME INYARIÀBLE. l8l
lant. Dans le cas actuel
r -f- r = ^ — cos*-» l = - — sin*-,
ces équations jointes à celle du roulement ^r=^r'
donnent
r __ 2(ji
d'où
r to — {1
1U. u.a . e , w — u art . e
tO-HfJLO) 1 aJ-hJJLU) 2
162. Dans un système invariable en mouvement, on considère deux plans faisant avec Vaxe instantané de rotation et de glissement des angles complémentaires. Démontrer que le produit des distances de leurs deux foyers à Vaxe instantané et le produit des distances de leurs deux caractéristiques à ce même axe, sont égaux à une même constante, quel que soit le système des deux plans choisis.
Nota. — Le foyer d^un plan est le point de ce plan dont la vitesse lui est normale.
La caractéristique d^ un plan supposé lié au système invariable est V intersection de ce plan avec sa position
infiniment voisine.
(Paris, novembre iSgS.)
Nous prendrons pour axes des z l'axe instantané à l'époque t considérée; l'équation d'un plan P dont la normale a pour cosinus directeurs a, p, y est
OLX -\- ^y -\- ^ z = a\
les composantes de la vitesse d'un point étant
Vx=—^y, Vy=^{ùX, Vz=h,
