MOUVEMENT D'UN POINT

164. Un fil vertical AB, fixé solidement en A par son extrémité supérieure, se termine à son extrémité inférieure par un crochet B. Rabaissement de celui-ci au-dessous de sa situation de repos, quand on le tire en bas, provoque, de la part du fil, une résistance proportionnelle à cet abaissement même, que Von appellera X {en millimètres) j résistance ayant pour a:= i™"* une valeur donnée de F kilogrammes. Cela posé, on accroche en B un poids connu de P kilogrammes et on l'y abandonne sans vitesse. On demande:

i^ Quel sera l'abaissement maximum X du crochet ?

!i^ Au bout de combien de secondes cet abaissement aura lieu?

3** Quel sera l' abaissement final ou statique du crochet, après que le mouvement se sera dissipé?

(Paris, novembre 1894; a* question.)

Les forces verticales qui agissent sur le poids de masse p - sont le poids P et la résistance du fil Fx, d'où Téqua-

l86 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

tion du mouvement du centre de gravité de ce poids

g dt^

= P — Far,

dans laquelle g doit, comme x^ être exprimé en millimètres, la seconde étant prise comme unité de temps. Si l'on pose

l'équation précédente devient

dt^ k dont l'intégrale générale est

= acos«^|-i-6sin<^|

elle donne

g = . = ^f(6cos.^f-asin.^);

tenant compte des conditions initiales a:o= (^0 = 0, on a

^ = A-(.-cos*^f)=2A-sin.i^f,

Ce sont les équations d'un mouvement périodique d'amplitude X = 2 A:; la durée d'une période simple est

Le mouvement ne pourrait donc se dissiper,, et encore au bout d'un temps infini, que s'il y avait résistance du mi-

MOUVEMENT d'uN POINT. 187

lieu, mais le poids passera par une position d'équilibre pour

165. Déterminer une courbe telle qu'un point pesant, assujetti à se mous^oir sans frottement sur cette courbe, y puisse prendre une vitesse dont la composante verticale ait une valeur donnée.

(Paris, octobre 1889; i»* question.)

Considérons le cylindre vertical passant par une des courbes cherchées; si on le développe sur un de ses plans tangents, la transformée de la courbe répondra également à la question. Il suffit donc de chercher cette courbe plane ; enroulant ensuite son plan sur un cylindre vertical quelconque, on aura toutes les courbes jouissant de la propriété énoncée.

Nous prendrons pour origine le point de départ et pour axe desj^ la verticale descendante; nous aurons alors

et, en appliquant le théorème des forces vives,

d'où l'équation différentielle de la courbe

k^ dx^ = {igy -+- pj — k'^)dy^ = (agjK -i- Z^^) cÇx^ dont l'intégrale

représente une parabole semi-cubique.

j88 troisième partie. — CHAPITRE I.

Si la vitesse initiale est verticale, Âr = (^0) A = o, et l'équation de la courbe devient

166. On donne, dans un plan vertical, une courbe telle que la partie de Vune quelconque de ses tan^ gentes qui est comprise entre le point de contact et une horizontale donnée Ox ait une longueur constante a; cette courbe est une tractrice, et on la suppose parfaitement polie. Déterminer le mouvement d*un point pesant de masse m, assujetti à se mouvoir sur la tractrice, partant du point le plus élevé de cette courbe sans vitesse initiale et éprouvant de la part du milieu

ambiant une résistance égale au produit de - par le

carré de la vitesse.

(Gaen, novembre 1888.)

En désignant par a l'angle négatif, de valeur absolue inférieure à -9 que fait avec OxldL tangente à la tractrice, cette courbe a pour équation différentielle

dy —

y= — «sina = — ^~j~^ ^o\x y =z ae "y

Torigine des arcs étant au point le plus élevé de la courbe. L'équation des forces vives donne

ld(v^)= — gdy—^ds

ds ^V^" a

cette équation linéaire en v^ a pour intégrale, en tenant