Un point matériel non pesant est assujetti à

glisser sans frottement sur la surface d'une sphère. Il

est attiré par deux points fixes en raison directe des

masses et en raison inverse du cube des distances. Ces

deux points ont même masse et sont situés sur la sphère

en des points diamétralement opposés, trouver la loi

du mouvement,

(Paris, octobre 1890, 2® question.)

Soient m la masse du point mobile, p etp' ses distances aux centres d'attraction A et A' de même masse ml et a le ravon de la sphère.

Le théorème des aires projetées donne, en prenant la droite AA' pour axe des s,

(^> '^'dt='''

le mouvement en azimut est révolutif.

Le théorème des forces vives donne ensuite

mp* = — i\mm' / -| -î rr = ^ ^^' ( -s H — 7^ ) -+- const. :

J pi p3 \^p2 p'2y

d'où, en posant \m' := [jl^, et remarquant que

p2-hp'î=4a2, pp'=2ar,

la vitesse du mobile varie en sens inverse de r.

'enlielle de la trajectoire projetée est

dr

i€ dr r^

va

( {x» — c2 H- Ar2 ) ^ //a* \/(x2— c2

itégrable et donne -^ en fonction de ô

s ou d'une exponentielle, suivant que

nférieur à p,.

n r^a, les valeurs que peut prendre r

l'inégalité

mouvement dépendent alors du signe

> Cj l'inégalité précédente est toubile passe à l'un des pôles avec une ction d'une force infinie et les forplicables*

MOUVEMENT d'uN POINT. I97

Soit [JL<C c; posant

on reconnaît qu'il y a oscillation du mobile entre les palèles de rayon r^ ,

2° A = — ^"2 < o. — On devra avoir

If 2 ni

si (-^) <o, r décroît constamment jusqu'au passage

au pôle. Si ( -j- j > o, r commence par croître jusqu'à r^

ou seulement jusqu'à a, si r^ >> a et décroît ensuite jusqu'au passage au pôle, situé dans l'hémisphère opposé à celui du point de départ; dans le cas où Fi = a,

a2 dz

dt=t —

/fx2-

Z =zoe ^ .

et ce n'est qu'au bout d'un temps infini que le point mobile atteint l'équateur.

3° A = 0. — On a

jusqu'à ce que 2* arrive à la valeur dz a, et

en prenant pour axe polaire le rayon vecteur qui correspond au maximum a de r. La trajectoire projetée sur le plan de l'équateur est la spirale

igS TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

symétrique relativement à Taxe polaire et tangente à Téquateur.

170. Une surface est telle que, en choisissant convenablement les coordonnées curvilignes qui définissent les différents points, on peut ramener Vêlement linéaire {c^ est-à'dire la différentielle de Varc d'une courbe quelconque tracée sur la surface) à être déterminé par la formule

ds^= u{du^-hd{>^).

On demande Inéquation en termes finis des lignes géodésiques de la surface. Quelle est la représentation de ces lignes lorsqu'on fait la carte de la surface en faisant correspondre au point de coordonnées u et V le point d'un plan dont les coordonnées rectilignes ont les mêmes valeurs,

(École Normale, 1889, 2® question.)

Lorsqu'un point se meut sab**^*ottement sur une surface et n'est soumis à aucune forc^hiire que la réaction normale, il décrit une ligne géodésiqueàde la surface.

Appliquons à ce mouvement les équatiWis de Lagrange; la force vive est donnée dans l'énoncé; ej\e est, en faisant

du^ dv^ \

ds'^

dV^ df^

= uL

La fonction U des forces étant nulle/, ainsi que il vient

ôv

d dT

dH

= uv =

dt dv' ' dv'

c'est la première équation ; on peut renliplacer la seconde

T — U = const.

par ou

MOCVEMENT d'uN POINT. IQQ

Éliminant dt entre ces deux équations, on a l'équation différentielle des lignes géodésiques

, , Cl du , c du

dv = ± - = ±

v/cjw — c\ ^u —

En faisant la carte de la surface, on a la famille de paraboles quelconques ayant pour directrice Taxe des^

(r - ^)- = 4 cH^ - c^) = '^p{^--^)'

La surface dont nous venons de déterminer les lignes géodésiques est, d'ailleurs, applicable sur une surface de révolution convenablement choisie, en vertu de la forme de son élément linéaire.

171. Un point matériel non pesant se meut, sans /rottement et sans qu^aucune force extérieure agisse sur lui, sur la surface définie en coordonnées rectangulaires par les équations

a: = a sinw cos - j v=asinMsin— >

— l \l \ — a'^cos'^uduj

oit a désigne une constante donnée. Etudier le mouvement et calculer la réaction de la surface.

On prendra pour valeurs initiales

7" Vq =0, Mo = - >

et V on supposera que u décroît à V origine du mouvement.

Examiner le cas particulier où la constante a est

égale à V unité,

(Montpellier, juillet 1890.)

On a

x^'\-y^= r' = a' sin* u ;

r étant, comme z, fonction de u seulement, la surface donnée, dont on cherche une ligne géodésique, est de révolution autour de O:;; on a encore

dz^ -f- dr^ = du^ ;

u est donc l'arc de méridien et l'autre variable (; = aO, puisque

taneO = — = tang - :

d'ailleurs, en vertu des données initiales,

60= o, ro= a.

L'élément d'arc ayant pour expression

ds^ = dz^ -^ dr^ -^ r^ d^^ = du^ -h dv^ sin* w,

dans laquelle a ne figure pas, les surfaces de révolution obtenues en faisant varier ce paramètre sont toutes applicables les unes sur les autres et notamment sur la sphère de rayon égal à Funité, obtenue en faisant a = i.

Opérant comme dans l'exemple précédent, on a la force vive

d'où

p' sin' w = const. = /y

et

u'^ H- p'î sin2 u == u'q^ 4- v'q^ ;

éliminant v' entre ces deux équations, on a

— du , dv sin2 u

= dt =

v/w'o* — v'q^ cot2 u ^0

MOUVEMENT d'uN POINT. 201

les variables m et c' se séparent et Fintégration donne

cota= — 7-smp, ou r =

^,-^^sin^ae'

dans le cas de la sphère, a= i, cette dernière équation devient

elle représente une ellipse projection d'un grand cercle.

Nous aurions pu procéder autrement et chercher la relation entre u el v dans le cas particulier de la sphère; l'équation ainsi obtenue eût été générale, puisque les équations différentielles du mouvement ne dépendent pas de a.

Réaction de la surface, — Désignant par X Pangle que fait Taxe des z avec la normale à la surface, on a

-^ = Ncosa;

d'ailleurs, u étant l'arc de méridien,

sinX = — - = — J\ — a'^cos^a, cosX = acosw du

et

a cosw dt^

mais

dz I — — - du

dt ^ dt

d^z a^sinucosu du^ , d^u

TTTi" — / = -77; \J \ — a^ cos* u -7— -

df^ ^y ^2 cosî u ^^^ ^t'

et

^^^ - "0 ^0 cot u, -^- -^-^— ,

a02 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

d'où, finalement,

-j a sin M ( u'^ — v'^ cot^ u ) v'^ s/ \ — a^cos^a ^

dans le cas de la sphère

c'est une constante, ainsi qu'il était aisé de le prévoir, le rayon de courbure de la trajectoire étant constant.

172. Un point matériel sans pesanteur est assujetti à se mouvoir sur la surface définie par les trois équations

x^ y^ z désignant les coordonnées rectilignes et rectangulaires du mobile, u et v les paramètres variables de deux courbes orthogonales tracées sur la surface. On propose d^ étudier le mouvement du point uniquement soumis à une force attractive émanée de V origine et dont V intensité est égale à — mr^ m étant la masse du mobile et r sa distance à V origine.

Comme cas particulier, on prendra pour conditions initiales du mouvement

i^„ = I, Mo = \/5, Uq = Vq = o,

Woj ^0) ^^0» ^0 désignant les valeurs des coordonnées

curvilignes et de leurs dérivées par rapport au temps t

pour t = o.

(Lyon, juillet 1890.)

La surface sur laquelle le point est assujetti à se mouvoir est le cône du second degré

oo^~-y^=^ -7;

MOUVEMENT d'UN POINT. 203

nous étudierons ce mouvement par la méthode de Lagrange.

L'expression du carré de l'élément d'arc tracé sur la surface est

et celle de la force vive, en faisant m = i , il y a d'ailleurs fonction de la force

(2) l}=z— I rdr = = — i5p2,

V=-frdr = —Ç=-

d'où l'équation des forces vives

nous prendrons comme seconde équation du mouvement celle qui est relative à la variable p; on a

dv dp (w2 — 2) (5 — m2) dv

d'où l'équation

or l'équation (3) nous donne

substituant dans la précédente, il vient

d OU, en posant -j-j =/?,

dp 1 ^(2p'— h^)

dç v^ V

(5 OW) D = -j— = ^ = -î^ \ î

et, enfin,

(6) v^= vl cos2(/ + T:)-f-t^| sin2(^-hT).

Il est à remarquer que les racines v^^ et v^ sont réelles

sans quoi -r-^ serait constamment négatif. De plus, elles

sont positives; en effet, la constante — c, qui représente le produit de ces racines, a pour expression

(a2— 2)(5 — MÎ)

d'après les équations (5 bîs) et (3); or, en vertu des équations de la surface, ii^ ne peut varier qu'entre 2, et 5, donc — c est positif, et il en est de même de la somme h^ des racines; il en résulte alors que les racines (^^ et (^2 sont positives.

La variable (^ oscille entre Vi et ^2 o^ — ^t et — (^2? suivant le signe de (^oî ^ oscille de même entre y/a et y/5, ou ces quantités changées de signe si Wo<o. Le paramètre ç' étant connu, l'équation différentielle (4) déterminera, d'ailleurs, u en fonction du temps.

Dans le cas particulier de Ténoncé, on a

d'où

on a encore

w'= o, w = const. = v/ô.

MOUVEMENT d'uN POINT. 2o5

Le mouvement oscillatoire du point mobile a lieu suivant la génératrice du cône

-5 = 0, ^=y^ et la réaction de la surface est nulle.