CHAPITRE IL
MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE
173. Une barre rectiligne, homogène^ non pesante y est assujettie à rencontrer un point fixe O sur lequel elle peut glisser sans frottement et autour duquel elle peut tourner. Etudier le mouvement de la barre, les conditions initiales étant quelconques.
(Paris, octobre 1889, 2* question.)
Le déplacement élémentaire initial de la barre étant plan, c'est dans ce plan xOy que s'effectuera le mouvement de la barre. En effet, la seule force qui agisse sur la barre, la réaction du point O, passant par l'origine, les sommes des moments des quantités de mouvement autour des trois axes coordonnés sont constantes et, par suite, nulles autour de Ox et O^. Mais, à une époque quelconque, les vitesses de tous les points de la barre sont dans un même plan P passant en O, il faut donc, en faisant la réduction au point fixe, que Taxe du couple résultant des quantités de mouvement, qui est normal au plan P, soit aussi normal à xOy^ pour que les projections de cet axe sur Ox et Oy soient nulles; le plan P se confond, par suite, avec le plan xOy,
Nous aurons les équations du mouvement de la barre dans son plan, en exprimant que la somme M des moments des quantités de mouvement autour de O, ainsi que
MOUVEMENT d'UxN CORPS SOLIDE. 207
force vive 2 T de la barre sont des constantes; nous calculerons d'ailleurs ces quantités en appliquant le théorème de Kœnig et le théorème analogue pour les moments.
Désignant par 2 a la longueur de la barre, r et 8 les coordonnées polaires de son centre de gravité, nous aurons
M = îi a /•* -rdt
d^ / on a donc les deux équations du mouvement
la première montre que le mouvement angulaire s'effectue toujours dans le même sens, et que la vitesse angulaire, toujours finie, varie en sens inverse de r*.
Le problème est d'ailleurs ramené aux quadratures elliptiques
dr . ^ . 3 B2
dt \ / ., . a'
la trajectoire du centre de gravité admet deux asymptotes aux distances qz 5 de l'origine.
Les circonstances du mouvement dépendent d'abord du
signe de (J)^-
SI (-J-) ^o, r croît indéfiniment.
Si (-1^) << o, r commence par décroître et divers cas peuvent alors se présenter :
km A
i" :^ — r= /:*> o; r décroît de Tq à A: pour croître
ensuite jusqu'à l'infînî.
2® x^ T^ <1 o; j- ne s annule lamais, r décroît confia i ^ at »* '
stamment et tend vers — oo.
3° rr^ r- = o; les quadratures s'effectuent aisément,
mais on peut reconnaître directement que r tend vers zéro, et 8 vers oo, au bout d'un temps infini.
La discussion précédente suppose que la liaison subsiste quel que soit r, c'est-à-dire que la barre est prolongée indéfiniment dans les deux sens par des parties sans masse, sinon la liaison cesse quand r = ± a; à partir de ce moment, le mouvement du centre de gravité devient rectiligne et uniforme, et la barre tourne uniformément autour
de ce point avec la vitesse angulaire (o = 7— ^•
Calcul de la réaction, — Le mouvement de la barre, relativement à des axes en translation avec son centre de gravité, est une rotation autour d'un axe fixe, due à la seule réaction normale. N du pointfixe; en comptant cette réaction dans le sens de la normale à la barre faisant
avec Ox l'angle 8 + - > on a
= — Nr.
3 dt^ or, l'équation (i) donne
dt^ ~ -; Tf d't
MOUVEMENT U UN CORPS SOLIDE. 2O9
d'où finalement
4a»AB
formule dans laquelle on prendra le signe supérieur si r croît.
174. Une barre homogène AB {fig^ 24 ), assujettie à demeurer dans un plan horizontal H parfaitement poli y a ses deux extrémités reliées par un fil flexible inextensible et sans masse ^ de longueur 2 a, passant dans un anneau infiniment petit situé en un point fixe O du plan H. Trouver le mouvement de la barre, en supposant qu'elle n'est soumise à aucune autre force que la tension du fil,
Fig. 24.
On montrera que la question, se ramène aux quadratures, en prenant pour variables la distance r du milieu G de la barre au point fixe O et V angle 6 de la droite OG avec une droite fixe du plan H.
(Paris, novembre 1892, 2® question.)
En écrivant que la force vive de la barre est constante, on a une première équation
ViLLiÉ. — Comp, m. i4
les seules forces qui agissent sur la barre passant par le point fixe O, la somme des moments des quantités de mouvement relativement à ce point est également constante.
en y joignant Téquation de liaison
nous aurons les trois équations nécessaires pour déterminer /', 8 et a en fonction du temps.
Pour ramener le problème aux quadratures, nous commencerons par chercher a ; on a
d^ ^'~3 dl e/cp ^ "^ ^ dt
^^^ dt" ^ l^ ' dt ~ , l^ '
substituant dans l'équation (i), il vient
r^ lcdt — -d(xj -^-—(cdt-hr^da)^
d'ailleurs dr s'exprime simplement en fonction de r, a et dcL, à l'aide de l'équation (3)
(6) r = — m smaaaa:
substituant cette valeur de dr dans l'équation (5) et ensuite celle de r en fonction de a, on a une équation dans laquelle ne figurent que a, dcLeldt] elle donne donc a par une quadrature, r s'en déduit immédiatement, enfin l'équation (4) fournit la valeur de 8.
MOUVEMENT D L N CORPS SOLIDE. 211
On peut obtenir directement l'équation différentielle de la trajectoire du centre de gravité G de la barre en éliminant dt entre les équations (i) et (2),
rr2rfÔ-+-^^(a + 6)l
or, on peut exprimer doL en fonction de r et dr] il suffit de joindre à l'équation (6) la suivante :
ce qui donne, par l'élimination de a,
rfr2
Cette équation donne la valeur cherchée de rfa; en la substituant dans l'équation (7), on aura la relation différentielle entre r et 6, dans laquelle 6 ne figurera que par sa différentielle rf8; l'équation de la trajectoire du point G s'obtiendra donc par une quadrature.
175. Une tige rectiligne pesante, OA {fig» aS), non homogène, d^ épaisseur infiniment petite, est mobile autour de l'une de ses extrémités O supposée fixe. Trouver le mouvement de cette tige placée dans des conditions initiales quelconques.
On prendra pour axes fixes la verticale descendante Oz et deux axes rectangulaires Ox et Oy dans un plan horizontal. On appellera 8 V angle zOh. et ç V angle du plan zOA avec le plan zOx,
(Paris, octobre 1895, 2* question.)
La vitesse v d'un point m de la barre situé à la distance p
du point O est donnée par la formule
d'où l'expression de la force vive totale de la tige, M désignant sa masse et k son rayon de giration relatif au point O,
la seule force extérieure agissant sur la barre, npn com-
pris la force de liaison en O, étant la pesanteur, la fonction U des forces a pour expression
U= M^acosô,
a étant la distance du centre de gravité G au point fixe O. Les fonctions T etU étant indépendantes de (p, Téquation de Lagrange relative à cette variable est
T— , = MXr^o'sinîO = const.
ou
dt '
c'est l'équation des aires projetées sur xOy,
Nous prendrons comme seconde équation celle des
forces vives
T — U = const.,
ou
cp'îsinse — ^cosÔ = ^;
MOUVEMENT D UN CORPS SOLIDE
si toute la masse de la barre était concentrée en G, on
aurait k=^a : la tige oscille donc comme le ferait un
k^ pendule sphérique de longueur /= — Enfin, si la tige
est homogène
A:» = -^ et
176. Mouvement d^une barre homogène, pesante, dont une extrémité A glisse sur un plan horizontal xOy et Vautre extrémité B sur un axe vertical Oz {fig. a6).
On suppose qu'il n'y a pas de frottement ; on désigne par (f l'angle de la barre avec la verticale, et par V angle du plan vertical contenant la barre avec
le plan zOx.
(École Normale, 1892, 7,^ question.)
Le centre de gravité G, milieu de AB, se déplace sur
Fig. 26.
une sphère de rayon a égal à la moitié de la longueur de la barre; la force vive de ce point, auquel on aurait con* centré la masse M de la barre, est
Ma2(o'2+0'2sin2(p).
2l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
La force vive de la barre, dans un mouvement relatif à des axes en translation avec le centre de gravité, a pour expression
d'où
d'ailleurs
__(cp'2|.e'îsm«cp),
2T=^^*((p'2+Ô'«siii2(p);
U = — M^acoscp;
en opérant comme dans l'exemple précédent, on a les équations du mouvement du point C :
-sin2cp = c,
3 oçp'2 i ô'2sin2cp -+. -2.cos9 = h\
ce sont celles du mouvement d'un pendule sphérique de longueur / == ^ .
177. Lune des extrémités A d'une barre homogène^ pesante, de masse Me^ de longueur 2/, est assujettie à glisser sans frottement sur un axe vertical Oz, tandis que Vautre extrémité ^est attachée au point O par un fil OB inextensible et sans masse de même longueur 2 1 (fig* 27). Trouver le mouvement du système»
On appellera 8 l'angle AOB que fait le fil avec la verticale Oz et a V angle que fait le plan AOB avec le
plan xOz,
(Ecole Normale, 1890, 2* question.)
Les coordonnées du centre de gravité de la barre sont $ = /sinôcosof, 7) = /sin6 sina, Ç = 3Zcos6,
MOUVEMENT D UN CORPS SOLIDE
d'où, en appelant V la vitesse de ce point,
sin*ô
Ci-+-8sin
in* 6)];
la force vive de la barre, relativement à des axes en trans-
lation avec le centre de gravité, est
on en déduit l'expression de la force vive de la barre
de plus, la fonction des forces
Le théorème des forces vives donne alors une première équation du mouvement
en y joignant celles des aires projetées
dv. .
dt '
2l6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
on a les équations nécessaires à la détermination des angles 6 et a.
L'équation qui donne 6 en fonction du temps est
posant cos8= m, on a pour déterminer u Téquation
jdv^ __ 3(i — M^)(3^f/ + A)— 2/c»
^ 'dï^ ~ 7 — 6m2 '
dont la discussion est identique à celle du mouvement du pendule sphérique. Toutefois, le mouvement du fil OB n'est pas pendulaire, à cause du dénominateur y — Ç^u^ qui ne figure pas dans l'équation en u du pendule sphérique.
