Une barre métallique homogène AB est mobile
sans frottement sur un plan horizontal xOy, Uune
des extrémités A glisse sans frottement sur Vaxe fixe
Ox\ Vautre B est sollicitée par une force répulsive F
normale à Vaxe Ox et proportionnelle à l' ordonnée
du point B. Trouver le mouvement de la barre et la
réaction de Vaxe,
(Paris, juillet 1892, 2* question.)
Soient 2/ la longueur de la barre, m sa masse, $ et t) les coordonnées de son centre de -gravité, V la vitesse de ce point, et y l'ordonnée du point B. Les seules forces agissant sur la barre et qui sont la force F et la réaction R de l'axe étant normales à cet axe, on a
^=0, ^ = at + b;
le mouvement de la projection du centre de gravité sur O^ est uniforme.
MOUVEMENT D*UN CORPS SOLIDE. 217
La seule inconnue restant à déterminer est donc l'angle 6 que fait la barre avec O^; nous emploierons pour cela le théorème des forces vives. On a
d'où l'expression de la force vive
2T = mV2
3 rf<2
= /n[a^+/2Q^cos^ô)^]
La force F = mky^ k étant, quel que soit le signe de y^ une constante positive; son travail élémentaire
d\} =mky dy^ d'où
U = — X:j2= 2/nX:/2sin»ô;
l'application du théorème des forces vives donne alors l'équation différentielle en 6
(i-+-3cos2Ô)^ =i2(/i — A:cos«Ô),
ce qui ramène le problème à une quadrature.
La constante h est essentiellement positive; elle ne pourrait être nulle que si l'on avait simultanément
et alors la tige resterait en équilibre. Les circonstances du mouvement dépendent des grandeurs relatives des constantes positives h et k*
\^ h^k. — ;77 ^^ s'annule jamais et le mouvement de
la barre autour de son centre de gravité est révolutif ; sa vitesse angulaire est minimum pour 9 =:= o ou tt et maxi-
mum quand (J = - ou —
2l8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
2° h <Ck, — En choisissant convenablement le sens positif de l'axe des y, on peut toujours supposer que 60 est compris entre zéro et tc; posant alors
6 oscillera entre a et tt — a.
3** Enfin, si A = /:, 6 tend vers zéro ou 7t, mais n'y parvient qu'au bout d'un temps infini.
Calcul de la réaction. — Pour déterminer la réaction R de l'axe O^, nous remarquerons que le mouvement de la barre autour de son centre de gravité, qui doit se traiter comme un mouvement absolu, sans addition de force fictive, est une rotation autour de l'axe vertical GÇ, d'où l'équation des moments
or, de l'équation qui donne ^-^ ? on tire par dérivation
rf*ô ,, ^.^ sinôcosO
ce qui donne
Cette réaction, toujours négative pour 8 = -> s'annule
quand passe par zéro ^ou tt; elle s'annule encore pour les valeurs de 8 données par l'équation
cos'
MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE. 219
pour que la valeur correspondante de 8 soit réelle, il faut que
0<4/24-^-I<3, ou ^<l^y
car la première condition est toujours remplie.
Considérons alors le cas du mouvement révolu tif A > k] si A^|/:, la réaction ne s'annule qu'aux passages à l'axe des x'y si A<<yA:, la réaction s'annule six fois dans un tour complet.
Soit, en second lieu, le cas du mouvement oscillatoire A < A", pour que la réaction puisse s'annuler, il faut que
cos*6 Icos'a ou
dans ce cas, la réaction s'annule deux fois dans chaque oscillation; elle reste constamment négative si A <; | A*.
179. Sur un plan horizontal parfaitement poli xOy est placée une barre homogène AB de masse M. et de longueur 2 a. Le milieu C de cette barre est attaché à un point fixe O du plan par un fil élastique OC dont on néglige la masse et dont la longueur à Vétat naturel est a. Le point C étant écarté de O^ de façon à tendre le fil et à lui donner une longueur ro supérieure à a, on lance la barre sur le plan. Trouver le mouvement?
A un instant quelconque t, on appellera r et ^ les coordonnées polaires du point C et (f l'angle de la barre avec Ox.
On admettra que la tension du fil OC, quand sa longueur est r, est proportionnelle à son allongement
/• — a, et, par suite, que V intensité de cette tension est MX2(r — a), \^ désignant une constante.
(Paris, mars 1897).
Le mouvement de la barre, relativement à son centre
de gravité C, est une rotation uniforme, -^ = const.,
attendu que la seule force donnée appliquée à la barre passe par le point C et que les réactions du plan sont parallèles à l'axe de rotation.
Le mouvement du centre de gravité est celui d'un point de masse M, soumis à Faction d'une force centrale
F= — MXî(/' — a), d'où les équations du mouvement de ce point
dt
= ^5— 2X2 r (r-~a)ûfr=p5-f-X2[(ro— a)2— (r — a)2];
en posant v\'^\'^{rQ — aY=k'^, cette dernière devient ce qui donne la relation entre r et t,
dr^ rî^ =:A:V2~X2r«(r-a)2-c2=/(r),
et l'équation différentielle de la trajectoire
le problème est donc ramené aux quadratures elliptiques.
Nous discuterons les circonstances du mouvement en
partant de la condition /(r) ^ o ; on reconnaît d'abord que
l'équation y*(/') = o a deux racines positives a et ^ sépa-
MOUVEMENT D UN CORPS SOLIDE. 221
rées par /'o; de plus, le produit des quatre racines de f{r) étant positif, les deux autres racines sont imaginaires ou de même signe. On peut même reconnaître que si ces deux dernières racines sont réelles, elles sont négatives et, par suite, que r ne peut varier qu'entre a et p. On a, en en effet,
JL
= r[Â:2— X2(r — a)(2r— a)]; or ce polynôme y (r) à ses trois racines réelles
et, comme elles séparent celles de /(r), les deux racines Y et 8 de/(r), si elles sont réelles, c'est-à-dire si
sont négatives.
Deux cas sont à distinguer suivant la grandeur de la plus petite racine positive a de /(/•).
1° a^«, ce qui se présentera si
alors la trajectoire sera alternativement tangente aux circonférences de rayons a et P; elle aura, d'ailleurs, sa concavité constamment tournée vers le point O, la force F étant attractive ou nulle; elle n'aura donc pas d'inflexion. 2^ a<;« ou k^a^ — c^^o. La trajectoire est encore tangente à la circonférence j3, mais quand r diminuant passe par la valeur a, la force F est nulle et reste nulle pour r <^a,he mouvement du point C, quand il coupe la circonférence de rayon a, devient rectiligne et uniforme, de
vitesse <^| = /:, jusqu'à ce que C rencontre à nouveau cette circonférence ; à partir de ce moment le mouvement se continue suivant les mêmes lois que précédemment sans changement dans les constantes, puisque c est le moment de la vitesse Vs,
En résumé, dans le cas qui nous occupe, la trajectoire est de forme discontinue, comme la force F; elle se compose de branches superposables comprises entre les circonférences de rayons a et p, reliées tangentiellement par des cordes égales de la circonférence a.
180. Une barre pesante, homogène, AA! a ses deux extrémités assujetties à glisser sans frottement, sur une même hélice tracée sur un cylindre circulaire droit, fixe^ dont V axe est vertical.
On propose :
1° De trouver le mouvement de la barre sur V hélice et les réactions de la courbe sur les deux extrémités de la barre,
1^ (Question de Cinématique). En considérant le
point C, situé sur Vaxe du cylindre,^ à égale distance
de A et de A', comme lié invariablement à la barre,
de déterminer, pour une époque quelconque, dans le
plan ACA', le point dont la vitesse est perpendiculaire
à ce plan,
(Paris, juillet 1895.)
I® Nous prendrons pour axe des z Taxe du cylindre dirigé suivant la verticale ascendante, et l'axe des x passant par la position initiale Ao du point le plus bas A de la barre AA'.
Soit aa* {fi g- 28), la projection sur le plan xOy de la barre à l'époque t\ l'angle aOa'=^ iol est constant, et si nous désignons par r le rayon du cylindre et (p l'angle de
MOUVEMENT DUN CORPS SOLIDE. 223
l'hélice avec Oz, la longueur L de la barre aura pour expression
Soient encore s Parc d'hélice Aq A parcouru parle point
A dans le temps ^, 8 = ^ l'angle Aq O a, elz = s cos (f
l'ordonnée du point A; tous les points de la barre décri-
vant des hélices de même pas, les composantes de la
vitesse d'un point de la barre situé à la distance / de Taxe
sont
dz ds . dd l sino ds
dt ^ dt dt r dt
la force vive 2 T de la barre de masse M est donc
.T=g(Mcos.,H-li^?i: ;./.);
d'ailleurs, c^rsina désignant la longueur de la demiprojection de la barre, on a
S7n/«=Mpî+ --5- =Mr2 f cos2aH —\
d'où
2T = M -j-^f I — -sin2asin2cp j .
Le travail élémentaire de la pesanteur ayant pour
lui, la barre descend indéfînîmenl ; it A monte pendant un temps
te.
ons. — Appelons N et R les compo-
fl rapportée à l'unité de masse de la
mt la normale principale et la binor-
jint A; N' etR' les quantités analogues
rivons d'abord les trois équations du
tre de gravité; on a
- =— £'H-(R + R') sino,
= ^COS(p=— (x2C0SCp,
R'= 5 P L = const.
smcp
MOUVEMENT d'lN CORPS SOLIDE. 225
Le point g^ projection du centre de gravité G, décrit une circonférence avec la vitesse angulaire
<i6 sino ds sin© , . ,
dt r dt ,, V t* /»
d'où les deux équations intrinsèques du mouvement projeté
dv d^Q ^=p^^=-,.2cosasmcp
= — (R H- R') coso cosa H- (N — N') sina.
(N — N'= cota[(R-f-R')coscp— [JL^sincp] = -^ i- — = const.
sin^ tanga
et
= (R — R') coscp sina H- (N + N') cosa.
La seule équation qui nous reste à employer est celle du mouvement de la barre relativement à des axes en irans- 1 a lion avec son centre de gravité, qui est une rotation de
vitesse angulaire -1- autour d'un axe vertical; dans cette
équation, les réactions figureront par la somme R + R' et I21 différence N — N' : elle sera donc une conséquence des équations (3) et (4); il est d'ailleurs facile de le vérifier. En résumé, il n'y a que trois équations pour déterminer ^^s quatre composantes des deux réactions et l'une de ces Composantes reste indéterminée; si l'on fait, par exemple, R == R', on a
N-hN'= ?l!l!l(i;o— 1^U)2;
'^ somme N-f-N' décroît si la barre s'élève et devient ^^Ue au point le plus élevé; elle croît indéfiniment dans l^ période de descente.
ViLLiÉ. — Comp. III. i5
2° Tous les points de la droite horizontale CG décrivent des hélices normales à cette droite; la droite CG, normale aux vitesses de tous ses points, passe donc par le foyer F du plan ACA'. Si l'on mène en A un plan normal à l'hélice, ce sera le plan focal de ce point et il coupera la droite CG au foyer cherché.
Pour déterminer la distance X de ce foyer au point C,
nous remarquerons d'abord que la ligne de plus grande
pente AA' du plan ACA' fait avec Oz un angle constant j3
donné par la formule
o c sina
tangp =
racotcp acotcp^
exprimons maintenant que la somme des projections des composantes de la vitesse du point F sur le plan ACA' est nulle, nous aurons
cosp + X^^sinp=o,
d'où
^ ^ acot^o
A = — r cot B cot cp = — r — : '- ;
^ ^ sma
c'est un point fixe de la droite GC, situé sur le prolongement de cette droite.
181. Une échelle pesante ÀB {fig- 29) s^ appuie sur un sol horizontal Ox et sur un mur vertical Oy^ le coefficient de frottement de l^ échelle sur le mur est égal à f\ la réaction totale se compose donc d^une réaction normale dirigée suivant AC et d^ une réaction tangentielle égale à la première multipliée par f et dirigée suivant Oy, Leur résultante , c^est-à-dire la réaction totale est dirigée suivant AD et, en posant tangîp =/*, on a
angle DAG = cp.
MOUVEMENT D UN CORPS SOLIDE
Le coefficient de frottement de U échelle su?- le sol est aussi égal à /*, de sorte que, en appelant BD la droite suivant laquelle est dirigée la réaction totale du sol sur V échelle, on aura
DBG = 5aG = (p.
On demande :
1** De former l'équation différentielle du mouvement de V échelle;
2** D'intégrer cette équation.
On prendra pour inconnue 8 = OAB. On suppose l'échelle homogène de façon que son centre de gravité se trouve au milieu G de AB.
(Paris, novembre 1891; question unique.)
Soient P et Q les réactions totales du mur et du sol, et 2 /la longueur de l'échelle; les équations du mouvement
Fig. 39.
du centre de gravité sont, en prenant pour unité de masse celle de l'unité de longueur de l'échelle
or
-^ = Pcoso — Qsino,
^^2 =Psincp -+-Qcos(p- 2^/;
% - /sinO, r^ = /cosO,
d^où les équations
2 1^ l -j-j cos — -Y-^ sin e j = P cos cp — Q sin o, — 2 /2 ( -7-^ Sin H" -7-^ cos 6) =Psincp -hQ cos cp — ilg.
Le mouvement relatif du solidef autour de son centre de
gravité est une rotation de vitesse angulaire -j- autour
d'un axe mené par G perpendiculairement au plan de la figure; appliquant à ce mouvement le théorème des moments, on a
(2) MX:2j^ = 2i^ = /[Qsin(6-cp)-Pcos(0-cp)J.
Éliminant P et Q entre ces trois équations, on aura Téquation différentielle du mouvement.
Les équations (i) nous donnent d'aboid
p =:2/^sincp -h2/2| cos(9-hcp)— ^sin(0H-9>^, Q = 2/^coscp —2/2 __ sin(6-hcp)4- — cos(0-f-ç> :)J-
Substituant ces valeurs de P et Q dans l'équation (2) -, ^ vient
^^^ ^^^^"^^^^"^"^^""^ sin2cp= -^ sin(0 — 2cp).
Cette équation en Q, qui donne le mouvement angulai^*^^ du centre de gravité relativement à la verticale aiscendan t^? et qui serait du premier ordre dans le cas particulier <J ^ /=y/2, est de forme identique à celle du mouveme*^ d'un pendule simple, pour de petites oscillations, ' ^ résistance du milieu étant proportionnelle au carré ^ ^
MOUVEMENT d'lN CORPS SOLIDE. 229
vitesse. Pour l'intégrer, posons
dt ~ ' dt^ ^ dt ~ d^ dt" 1 d^ '
